Fonction valeur absolue : exercices corrigés de 2de

Calcule $|-7|$ : la distance de $-7$ à zéro est $7$, donc $|-7| = 7$.

Calcule $|3|$ : $3$ est positif, donc $|3| = 3$.

Calcule $|-2|$ : la distance de $-2$ à zéro est $2$, donc $|-2| = 2$.

Remplace dans l'expression : $A = 7 + 3 - 2$.

Effectue : $A = 10 - 2 = 8$.

Remplace $x$ par $-2$ : $f(-2) = |-2 - 3|$.

Calcule à l'intérieur des barres : $-2 - 3 = -5$.

Il reste $f(-2) = |-5|$.

Retire le signe : $|-5| = 5$.

Calcule l'écart du matin : $e(14) = |14 - 20| = |-6| = 6$.

Calcule l'écart de l'après-midi : $e(27) = |27 - 20| = |7| = 7$.

Additionne : $e(14) + e(27) = 6 + 7 = 13$.

Ajoute l'unité : la somme des écarts vaut $13\,°\text{C}$.

Calcule $g(-4) = |-4| - (-4) = 4 + 4 = 8$.

Calcule $g(6) = |6| - 6 = 6 - 6 = 0$.

Additionne : $g(-4) + g(6) = 8 + 0 = 8$.

Explique le cas général : si $x \geq 0$, alors $|x| = x$, donc $g(x) = x - x = 0$.

Pour mémoire, si $x < 0$, alors $|x| = -x$ et $g(x) = -x - x = -2x$ : pour $x = -4$, on retrouve bien $8$.

Traduis l'équation : on cherche les nombres $x$ situés à une distance $5$ du nombre $2$.

Cherche à droite de $2$ : $x = 2 + 5 = 7$.

Cherche à gauche de $2$ : $x = 2 - 5 = -3$.

Vérifie : $|7 - 2| = |5| = 5$ et $|-3 - 2| = |-5| = 5$. Les deux conviennent.

Écris l'ensemble des solutions : $S = \{-3\,;\,7\}$.

Calcule le produit : $(-3) \times 7 = -21$.

Calcule $h(-3) = |-3| + (-3)^2 = 3 + 9 = 12$.

Calcule $h(3) = |3| + 3^2 = 3 + 9 = 12$.

Constate que $h(-3) = h(3)$.

Généralise : la fonction valeur absolue est paire ³, et la fonction carré aussi, donc $h(-x) = |-x| + (-x)^2 = |x| + x^2 = h(x)$ pour tout réel $x$.

Conclus sur la courbe : $h$ est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Calcule $k(-5) = |-5 - 1| + |-5 + 2| = |-6| + |-3| = 6 + 3 = 9$.

Calcule $k(0) = |0 - 1| + |0 + 2| = 1 + 2 = 3$.

Calcule $k(3) = |3 - 1| + |3 + 2| = 2 + 5 = 7$.

Interprète : $k(x)$ est la somme de la distance de $x$ à $1$ et de la distance de $x$ à $-2$.

Pour $x$ entre $-2$ et $1$, ces deux distances se complètent exactement : leur somme est la distance entre $-2$ et $1$, soit $1 - (-2) = 3$.

Si $x$ sort de l'intervalle $[-2\,;\,1]$, la partie du trajet située au-delà de la borne la plus proche est comptée deux fois : la somme dépasse alors $3$ (voir $k(-5) = 9$ et $k(3) = 7$).

Conclus : la plus petite valeur de $k$ est $3$, atteinte par exemple en $x = 0$.

Traduis : on cherche les nombres $x$ situés à une distance de $1$ inférieure ou égale à $3$.

Repère les bornes : $1 - 3 = -2$ à gauche et $1 + 3 = 4$ à droite.

Écris l'intervalle : les solutions sont les $x$ de $[-2\,;\,4]$, bornes comprises car l'inégalité est large ($\leq$).

Liste les entiers : $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$.

Compte : il y en a $4 - (-2) + 1 = 7$.