Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition un seul nombre, son image.
On écrit f(x) pour l'image de x ; on dit que x est un antécédent de f(x).
Un nombre a au plus une image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Une fonction se donne par une formule, un tableau de valeurs, une courbe ou un algorithme.
L'ensemble de définition regroupe les nombres pour lesquels le calcul est possible : on exclut par exemple une division par 0.
Introduction : pourquoi parler de fonction ?
Dans la vie courante, une grandeur dépend souvent d'une autre. Le prix d'un trajet en taxi dépend de la distance parcourue. L'aire d'un carré dépend de la longueur de son côté. La température d'une pièce dépend de l'heure de la journée. Dans chaque cas, on se donne un nombre de départ et on obtient, par une règle bien précise, un nombre d'arrivée.
Les mathématiques donnent un nom à ce mécanisme : c'est une fonction. Le mot est court, mais l'idée est puissante : elle permet de décrire des situations très différentes avec le même vocabulaire et les mêmes outils. Ce chapitre pose les bases dont tu auras besoin pour toute la suite : fonctions affines, fonction carré, courbes, résolution graphique.
Dans ce cours, tu vas apprendre à :
reconnaître une situation de dépendance entre deux nombres et la traduire par une fonction ;
calculer l'image d'un nombre ;
chercher le ou les antécédents d'un nombre ;
déterminer l'ensemble de définition d'une fonction simple ;
passer d'une formule à un tableau de valeurs, et inversement.
Définition d'une fonction
Deux mots de cette définition méritent ton attention : chaque et unique.
Chaque : aucun nombre de l'ensemble de définition n'est oublié. Si le calcul est impossible pour un nombre, ce nombre n'appartient simplement pas à l'ensemble de définition.
Unique : un même nombre de départ ne peut pas donner deux résultats différents. Une règle qui donnerait tantôt 3, tantôt 5 pour le même nombre de départ ne définit pas une fonction.
Image et antécédent
Le vocabulaire se lit dans les deux sens. Prenons une fonction f telle que f(3)=7. On peut dire de façon équivalente :
« 7 est l'image de 3 par f » ;
« 3 est un antécédent de 7 par f ».
L'image se trouve en appliquant la règle. L'antécédent se trouve en remontant la règle : on cherche quel nombre de départ donne le résultat voulu.
Calculer une image : la méthode
Écrire la formuleRecopie l'expression de f(x).
Remplacer xMets le nombre entre parenthèses.
CalculerRespecte les priorités de calcul.
ConclureÉcris une phrase avec le résultat.
Calculer une image en quatre étapes · Méthode pour calculer une image.
Chercher un antécédent : la méthode
Ensemble de définition
Pour une formule simple, deux situations peuvent poser problème en Seconde :
une division par zéro : dans x−21, le dénominateur s'annule pour x=2 ;
une racine carrée d'un nombre négatif : dans x−3, il faut x−3≥0, donc x≥3.
Une fonction polynôme comme x↦3x2−2x+1 se calcule pour n'importe quel réel : son ensemble de définition est l'ensemble de tous les réels, noté R.
Les différentes façons de donner une fonction
Une même fonction peut se présenter de plusieurs manières. Savoir passer de l'une à l'autre est une compétence centrale du chapitre.
Tableau de valeurs de f(x) = x² − 1
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
3
0
-1
0
3
Tableau de valeurs de f(x) = x² − 1 · Quelques images de la fonction f(x) = x² − 1.
Modéliser une situation par une fonction
L'intérêt des fonctions est de traduire une situation réelle en une formule, puis de s'en servir pour répondre à des questions.
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer une image
★☆☆Environ 5 min
Soit la fonction f définie sur R par f(x)=3x2−2x+1. Calcule l'image de −2 par f.
Indice 1
Remplace x par (−2) en gardant les parenthèses.
Indice 2
Calcule d'abord la puissance (−2)2.
Voir la correction pas à pas
On écrit : f(−2)=3×(−2)2−2×(−2)+1.
On calcule la puissance : (−2)2=4, donc 3×4=12.
On calcule le terme suivant : −2×(−2)=+4.
On additionne : 12+4+1=17.
L'image de −2 par f est 17.
Exercice 2 Chercher un antécédent
★☆☆Environ 6 min
Soit la fonction g définie sur R par g(x)=2x+3. Détermine l'antécédent de 11 par g, puis vérifie ton résultat.
Indice 1
Un antécédent de 11 est un nombre x tel que g(x)=11.
Indice 2
Résous l'équation 2x+3=11.
Voir la correction pas à pas
On traduit la question par l'équation 2x+3=11.
On retire 3 aux deux membres : 2x=8.
On divise par 2 : x=4.
On vérifie : g(4)=2×4+3=11.
L'antécédent de 11 par g est 4.
Exercice 3 Un parking à tarif fixe
★★☆Environ 8 min
Un parking facture 3 € à l'entrée, puis 2 € par heure de stationnement. On note t la durée en heures et p(t) le prix en euros.
Donne l'expression de p(t).
Combien de temps peut-on rester pour payer exactement 21 € ?
Indice 1
Le prix est la somme d'une partie fixe et d'une partie proportionnelle à la durée.
Indice 2
Une durée à trouver à partir d'un prix est un antécédent.
Voir la correction pas à pas
Le prix fixe est 3 € et chaque heure coûte 2 € : p(t)=2t+3.
Payer 21 € signifie p(t)=21, donc 2t+3=21.
On retire 3 : 2t=18.
On divise par 2 : t=9.
On vérifie : p(9)=2×9+3=21.
On peut rester 9 heures pour payer exactement 21 €.
Exercice 4 Ensemble de définition
★★★Environ 8 min
Soit f(x)=x−54.
Pour quelle valeur de x le calcul de f(x) est-il impossible ?
En déduire l'ensemble de définition de f.
Calcule l'image de 7 par f.
Indice 1
Le dénominateur ne doit pas être nul.
Indice 2
Pour la question 3, remplace x par 7 dans la formule.
Voir la correction pas à pas
Le dénominateur x−5 s'annule pour x=5 : le calcul de f(5) est impossible.
L'ensemble de définition est donc l'ensemble des réels différents de 5, soit R∖{5}.
Le nombre 7 appartient à cet ensemble, on calcule : f(7)=7−54=24=2.
La fonction f est définie sur R∖{5} et l'image de 7 par f est 2.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On calcule f(4)=42−3×4=16−12=4. La valeur 28 vient d'une erreur de signe (16+12) : le terme −3x se soustrait. La valeur −4 vient d'une erreur de signe sur le résultat final 16−12.
C'est faux : dans la définition d'une fonction, chaque nombre a une unique image. C'est en revanche l'inverse qui est possible : un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ce qui est la confusion tentante.
L'équation x2=9 a deux solutions : 3 et −3. Répondre 1 revient à oublier le nombre négatif, dont le carré est aussi 9. Répondre 0 serait vrai pour un nombre négatif comme −9, pas pour 9.
Le dénominateur s'annule pour x=2, valeur qu'il faut exclure. Exclure −2 vient d'une erreur de signe en résolvant x−2=0. Les valeurs inférieures à 2 sont bien permises, par exemple f(0)=−21, donc l'ensemble n'est pas limité aux réels supérieurs à 2.
On résout −2x+5=−1, d'où −2x=−6 et x=3. Vérification : h(3)=−6+5=−1. Calculer h(−1)=7 donnerait l'image de −1, pas son antécédent.
L'égalité f(3)=7 signifie que 7 est l'image de 3, et que 3 est un antécédent de 7. Les deux autres affirmations inversent les rôles : rien dans l'égalité ne donne l'image de 7.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre image et antécédent ?
L'image de x est le résultat f(x) : tu le calcules. Un antécédent d'un nombre y est un nombre x tel que f(x)=y : tu le cherches en résolvant une équation. Pour ne pas te tromper, repère le sens de la flèche : on part de x pour arriver à l'image.
Pourquoi un nombre n'a-t-il qu'une seule image mais peut avoir plusieurs antécédents ?
Parce que la définition d'une fonction impose un résultat unique pour chaque nombre de départ. En revanche, rien n'empêche deux nombres de départ différents de mener au même résultat. Avec f(x)=x2, les nombres 2 et −2 ont tous les deux pour image 4.
Comment savoir si une règle définit bien une fonction ?
Vérifie que, pour chaque nombre de départ autorisé, la règle donne un seul résultat. Si, pour un même nombre, tu peux obtenir deux résultats différents, ce n'est pas une fonction. Si le calcul est impossible pour certains nombres, ces nombres sont simplement exclus de l'ensemble de définition.
Comment trouver rapidement l'ensemble de définition ?
Cherche d'abord les « interdits » : un dénominateur qui s'annule, ou une expression négative sous une racine carrée. Pour un dénominateur, résous l'équation « dénominateur =0 » et exclus les solutions. Pour une racine, résous l'inéquation « expression sous la racine ≥0 ». S'il n'y a aucun interdit, la fonction est définie sur R.
Faut-il toujours mettre des parenthèses quand je remplace $x$ par un nombre négatif ?
Oui. Sans parenthèses, −32 vaut −9 alors que (−3)2 vaut 9. Les parenthèses garantissent que le signe moins est bien élevé au carré avec le nombre. C'est une habitude simple qui évite beaucoup de points perdus.