Coordonnées d'un vecteur et repérage : cours de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dans un repère, un vecteur est décrit par un couple $(a\,;\,b)$ : son déplacement horizontal puis vertical.
Pour $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ : $\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$ , toujours « arrivée moins départ ».
Somme : on additionne les coordonnées. Produit par un réel $\lambda$ : on multiplie chaque coordonnée par $\lambda$ .
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales : c'est l'outil pour les parallélogrammes.
Dans un repère orthonormé, la norme vaut $\sqrt{a^2+b^2}$ ; elle donne les distances.

Pourquoi repérer un vecteur ?

Dans le chapitre sur les vecteurs du plan, tu as appris à décrire un déplacement par une flèche : une direction, un sens, une longueur. Cette description est géométrique. Elle marche très bien sur une figure, mais devient lourde dès qu'il faut calculer. Que vaut la somme de deux déplacements ? Où se trouve le quatrième sommet d'un parallélogramme ? Quelle est la distance entre deux points ?

La solution consiste à traduire les vecteurs en nombres. Dès qu'on dispose d'un repère, chaque vecteur reçoit deux nombres, ses coordonnées, et les opérations sur les vecteurs deviennent des opérations sur des nombres. Le programme de seconde place d'ailleurs au cœur de ce chapitre les coordonnées d'un vecteur et l'expression de la norme dans une base orthonormée ². Il attend aussi que tu saches représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées et lire les coordonnées d'un vecteur tracé ³.

Ce cours suit une progression simple :

comprendre ce que signifient les coordonnées d'un vecteur ;
les calculer à partir de deux points ;
additionner des vecteurs et les multiplier par un réel ;
utiliser l'égalité de deux vecteurs, par exemple pour les parallélogrammes ;
calculer une norme, donc une distance ;
enchaîner ces outils dans des problèmes complets.

Repère, base et coordonnées d'un vecteur

Dire qu'un vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(a\,;\,b)$ signifie qu'on peut le fabriquer en parcourant $a$ fois le vecteur $\vec{\imath}$ , puis $b$ fois le vecteur $\vec{\jmath}$ :

$\vec{u}=a\,\vec{\imath}+b\,\vec{\jmath}.$

Le nombre $a$ est le déplacement horizontal (vers la droite si $a>0$ , vers la gauche si $a<0$ ) et $b$ le déplacement vertical (vers le haut si $b>0$ , vers le bas si $b<0$ ). On écrit $\vec{u}\,(a\,;\,b)$ .

Coordonnées du vecteur AB

Démonstration · Pourquoi cette formule ?

Pour aller de $A$ à $B$ , on part de $A$ , on se déplace horizontalement jusqu'à l'abscisse de $B$ , puis verticalement jusqu'à son ordonnée. Le déplacement horizontal est la différence des abscisses, $x_B-x_A$ ; le déplacement vertical est la différence des ordonnées, $y_B-y_A$ . Ces deux nombres sont, par définition, les coordonnées du déplacement qui envoie $A$ sur $B$ , c'est-à-dire de $\overrightarrow{AB}$ .

On peut aussi passer par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ . Les coordonnées de $\overrightarrow{OB}$ sont celles du point $B$ , celles de $\overrightarrow{OA}$ sont celles de $A$ , et on retrouve la différence.

ExempleAvec des nombres négatifs

Soit $A(-2\,;\,5)$ et $B(3\,;\,-1)$ .

$x_B-x_A=3-(-2)=3+2=5,\qquad y_B-y_A=-1-5=-6.$

Donc $\overrightarrow{AB}\,(5\,;\,-6)$ . Le croquis confirme : pour aller de $A$ à $B$ , on avance vers la droite et on descend.

Pour le vecteur opposé, $\overrightarrow{BA}$ , on inverse les rôles : $x_A-x_B=-2-3=-5$ et $y_A-y_B=5-(-1)=6$ , soit $\overrightarrow{BA}\,(-5\,;\,6)$ . Les coordonnées sont opposées, ce qui est cohérent avec $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ .

NoterÉcrire A et B avec parenthèses
Soustraire xAbscisse de B moins abscisse de A
Soustraire yOrdonnée de B moins ordonnée de A
ContrôlerVérifier les signes sur un croquis

Calculer les coordonnées de AB · Méthode en quatre étapes.

Somme de vecteurs et produit par un réel

Le programme demande de savoir calculer les coordonnées d'une somme de vecteurs et celles du produit d'un vecteur par un réel ². Ces calculs sont très simples : ils se font coordonnée par coordonnée.

Démonstration · Justification

Avec $\vec{u}=a\,\vec{\imath}+b\,\vec{\jmath}$ et $\vec{v}=a'\,\vec{\imath}+b'\,\vec{\jmath}$ , on regroupe les termes en $\vec{\imath}$ d'un côté et ceux en $\vec{\jmath}$ de l'autre :

$\vec{u}+\vec{v}=(a+a')\,\vec{\imath}+(b+b')\,\vec{\jmath}.$

Les coordonnées de la somme sont donc bien $(a+a'\,;\,b+b')$ .

Égalité de vecteurs et parallélogrammes

Norme d'un vecteur et distance

Démonstration · Pourquoi ?

Place le point $B'$ de coordonnées $(x_B\,;\,y_A)$ . Le triangle $AB'B$ est rectangle en $B'$ car les axes sont perpendiculaires. Ses côtés de l'angle droit mesurent $|x_B-x_A|$ et $|y_B-y_A|$ , car les unités sont les mêmes sur les deux axes. Le théorème de Pythagore donne

$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2.$

On prend la racine carrée, positive puisqu'une longueur l'est.

Formules du chapitre
Objet	Formule
Vecteur AB	(xB − xA ; yB − yA)
Somme	(a + a' ; b + b')
Produit par λ	(λa ; λb)
Norme (repère orthonormé)	√(a² + b²)
Égalité de vecteurs	mêmes abscisses et mêmes ordonnées

Formules du chapitre · Les formules à connaître.

Méthodes types et erreurs à éviter

Les exercices de seconde mélangent presque toujours plusieurs outils du chapitre. Voici trois situations typiques et la démarche pour chacune.

Exercices corrigés

Exercice 1 Distance entre deux points

★☆☆Environ 5 min

Dans un repère orthonormé, on donne $A(2\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,3)$ . Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ , puis la distance $AB$ .

Indice 1

Arrivée moins départ pour chaque coordonnée.

Indice 2

Utilise la formule $\sqrt{a^2+b^2}$ avec les coordonnées du vecteur.

Voir la correction pas à pas

Abscisse : $x_B-x_A=5-2=3$ .
Ordonnée : $y_B-y_A=3-(-1)=4$ , donc $\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,4)$ .
Norme : $AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$ .
On obtient $AB=5$ unités de longueur.

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(3\,;\,4)$ et la distance $AB$ vaut $5$ .

Exercice 2 Combinaison de deux vecteurs

★☆☆Environ 5 min

Soit $\vec{u}\,(2\,;\,-3)$ et $\vec{v}\,(-1\,;\,4)$ . Calcule les coordonnées de $\vec{w}=3\vec{u}-2\vec{v}$ . Donne l'ordonnée de $\vec{w}$ .

Indice 1

Calcule d'abord $3\vec{u}$ et $2\vec{v}$ séparément.

Indice 2

Soustrais ensuite coordonnée par coordonnée, en gardant les parenthèses.

Voir la correction pas à pas

$3\vec{u}\,(3\times2\,;\,3\times(-3))=(6\,;\,-9)$ .
$2\vec{v}\,(2\times(-1)\,;\,2\times4)=(-2\,;\,8)$ .
Abscisse de $\vec{w}$ : $6-(-2)=8$ .
Ordonnée de $\vec{w}$ : $-9-8=-17$ .

On a $\vec{w}\,(8\,;\,-17)$ ; son ordonnée est $-17$ .

Exercice 3 Quatrième sommet d'un parallélogramme

★★☆Environ 8 min

Dans un repère, on donne $A(-1\,;\,2)$ , $B(3\,;\,1)$ et $C(4\,;\,5)$ . Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. Donne l'ordonnée de $D$ .

Indice 1

Traduis la condition par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ .

Indice 2

Note $D(x\,;\,y)$ et écris deux équations.

Voir la correction pas à pas

$\overrightarrow{AB}\,(3-(-1)\,;\,1-2)=(4\,;\,-1)$ .
Avec $D(x\,;\,y)$ : $\overrightarrow{DC}\,(4-x\,;\,5-y)$ .
L'égalité donne $4-x=4$ , donc $x=0$ .
Elle donne aussi $5-y=-1$ , donc $y=6$ .
Donc $D(0\,;\,6)$ . Contrôle : $\overrightarrow{AD}\,(1\,;\,4)$ et $\overrightarrow{BC}\,(1\,;\,4)$ , ils sont égaux.

Le point $D$ a pour coordonnées $(0\,;\,6)$ .

Exercice 4 Milieu d'un segment par les vecteurs

★★☆Environ 8 min

Dans un repère, on donne $A(-2\,;\,3)$ et $B(6\,;\,-1)$ . Le point $M$ est le milieu de $[AB]$ . Utilise $\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$ pour trouver l'abscisse de $M$ .

Indice 1

Calcule d'abord $\overrightarrow{AB}$ , puis sa moitié.

Indice 2

Écris $x_M-x_A$ égal à la première coordonnée de $\overrightarrow{AM}$ .

Voir la correction pas à pas

$\overrightarrow{AB}\,(6-(-2)\,;\,-1-3)=(8\,;\,-4)$ .
$\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AB}\,(4\,;\,-2)$ .
Avec $M(x\,;\,y)$ : $x-(-2)=4$ , donc $x=2$ .
De même $y-3=-2$ , donc $y=1$ : $M(2\,;\,1)$ .

Le milieu de $[AB]$ est $M(2\,;\,1)$ ; son abscisse vaut $2$ .

Les questions qu'on se pose

Comment ne plus me tromper entre AB et BA ?

Dis-toi « arrivée moins départ ». Pour $\overrightarrow{AB}$ , le départ est la première lettre, l'arrivée la seconde. Fais ensuite un croquis rapide : si le vecteur va vers la gauche, sa première coordonnée doit être négative. Les coordonnées de $\overrightarrow{BA}$ sont toujours les opposées de celles de $\overrightarrow{AB}$ .

À quoi servent les coordonnées d'un vecteur ?

Elles transforment les problèmes de géométrie en calculs : distances, milieux, parallélogrammes, sommes de déplacements. Elles préparent aussi les chapitres suivants, comme la colinéarité et les équations de droites, qui utilisent exactement les mêmes calculs.

Quand puis-je utiliser la formule de la norme ?

Seulement dans un repère orthonormé : axes perpendiculaires et même unité sur chaque axe. Si l'énoncé ne le précise pas, regarde s'il parle de repère orthonormé ; sinon, la formule n'est pas applicable telle quelle.

Peut-on additionner un point et un vecteur ?

En seconde, on n'écrit pas de somme « point + vecteur ». En revanche, la relation $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ou l'écriture $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}$ permet de retrouver les coordonnées d'un point à partir de celles d'un vecteur, en posant le point inconnu $(x\,;\,y)$ et en égalant les coordonnées.

Comment démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme avec des coordonnées ?

Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ . S'ils ont les mêmes coordonnées, ils sont égaux et $ABCD$ est un parallélogramme. Respecte l'ordre des lettres et rédige la conclusion en citant la propriété utilisée.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques - Classe de seconde générale et technologique · education.gouv.fr

Programme de mathématiques - Classe de seconde générale et technologique, education.gouv.fr. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources pour la classe de seconde - Géométrie et coordonnées, eduscol.education.fr. Consulté le 9 novembre 2026.
Document de ressources - Vecteurs et repérage dans le plan, eduscol.education.fr. Consulté le 9 novembre 2026.
Coordonnées sphériques, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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Coordonnées d'un vecteur et repérage : cours de 2de

L'essentiel

Pourquoi repérer un vecteur ?

Repère, base et coordonnées d'un vecteur

Coordonnées du vecteur AB

Somme de vecteurs et produit par un réel

Égalité de vecteurs et parallélogrammes

Norme d'un vecteur et distance

Méthodes types et erreurs à éviter

Exercices corrigés

Exercice 1 Distance entre deux points

Exercice 2 Combinaison de deux vecteurs

Exercice 3 Quatrième sommet d'un parallélogramme

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