Piège classique : inverser départ et arrivée, ce qui change tous les signes.
Repère et coordonnées d'un vecteur
Pour travailler avec des nombres plutôt qu'avec des dessins, on munit le plan d'un repère. Le programme de seconde s'appuie sur une base orthonormée : deux vecteurs directeurs des axes, perpendiculaires et de même longueur unité.2 Dans ce cadre, chaque vecteur u possède deux coordonnées, notées u(ab) ou u(a;b).
Calculer les coordonnées de AB
Somme et multiplication par un réel
Norme d'un vecteur
Démonstration · Pourquoi cette formule
Le déplacement de A à B se décompose en un trajet horizontal de longueur ∣a∣ puis un trajet vertical de longueur ∣b∣. Comme les axes sont perpendiculaires, ces deux trajets forment les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont AB est l'hypoténuse. Le théorème de Pythagore donne AB2=a2+b2.
À retenir pour les contrôles
Ces calculs servent ensuite à tester la colinéarité, à établir des équations de droites et à démontrer des propriétés de configurations géométriques.
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On calcule arrivée moins départ : 2−(−1)=3 et −1−3=−4. Le choix (−3;4) correspond à BA (départ et arrivée inversés), et (3;4) vient d'une erreur de signe sur l'ordonnée.
On additionne abscisse avec abscisse (2−1=1) et ordonnée avec ordonnée (3+4=7). (−2;12) multiplie au lieu d'additionner ; (3;−1) est une soustraction.
Multiplier par un réel multiplie chaque coordonnée : (2×3;2×(−1))=(6;−2). On ne multiplie pas une seule coordonnée.
∥u∥=62+82=100=10. Additionner 6+8=14 sans passer par les carrés et la racine est l'erreur tentante.
Les questions qu'on se pose
Comment ne plus me tromper entre AB et BA ?
Dis-toi « arrivée moins départ » : le point nommé en second moins le point nommé en premier. Fais ensuite un croquis rapide : si la flèche va vers la gauche, l'abscisse doit être négative. Au besoin, rappelle-toi que BA=−AB.
Les coordonnées d'un vecteur dépendent-elles de l'endroit où je le dessine ?
Non. Deux flèches parallèles, de même longueur et de même sens représentent le même vecteur, donc ont les mêmes coordonnées. Seule la base utilisée change les nombres : déplacer l'origine du repère ne modifie pas les coordonnées d'un vecteur.
Quand puis-je utiliser la formule de la norme ?
Uniquement quand le repère est orthonormé, ce que l'énoncé précise. Dans ce cas, AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2 donne directement une distance.