Coordonnées d'un vecteur et repérage : exercices de 2de

Pour $\overrightarrow{AB}$, l'arrivée est $B$ et le départ est $A$ : on calcule $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$.

Abscisse : $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.

Ordonnée : $-2 - 4 = -6$. Donc $\overrightarrow{AB}(4\,;\,-6)$.

Pour $\overrightarrow{BA}$, on échange les rôles : $-1 - 3 = -4$ et $4 - (-2) = 6$. Donc $\overrightarrow{BA}(-4\,;\,6)$.

On vérifie : les deux vecteurs ont des coordonnées opposées, ce qui est normal.

Produit par un réel : $2\vec{u}$ a pour coordonnées $(2\times 3\,;\,2\times(-2)) = (6\,;\,-4)$.

De même, $3\vec{v}$ a pour coordonnées $(3\times(-1)\,;\,3\times 5) = (-3\,;\,15)$.

Pour la différence, on soustrait coordonnée par coordonnée : abscisse $6 - (-3) = 9$.

Ordonnée : $-4 - 15 = -19$.

Donc $\vec{w}(9\,;\,-19)$ et son ordonnée vaut $-19$.

$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : $(4 - 1\,;\,3 - 2) = (3\,;\,1)$.

Notons $D(x_D\,;\,y_D)$. Alors $\overrightarrow{DC}$ a pour coordonnées $(6 - x_D\,;\,7 - y_D)$.

Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées : $6 - x_D = 3$ et $7 - y_D = 1$.

On en déduit $x_D = 3$ et $y_D = 6$, soit $D(3\,;\,6)$.

Contrôle : $\overrightarrow{AD}$ a pour coordonnées $(2\,;\,4)$ et $\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées $(2\,;\,4)$. Les deux autres côtés sont bien égaux aussi.

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : $(4 - 1\,;\,6 - 2) = (3\,;\,4)$.

Le repère est orthonormé : les axes sont perpendiculaires et l'unité est la même sur les deux, donc le théorème de Pythagore s'applique.

$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2}$.

$AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

La longueur $AB$ vaut 5 cm.

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : $(-3 - 2\,;\,4 - (-1)) = (-5\,;\,5)$.

Produit par $-2$ : $-2\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(-2\times(-5)\,;\,-2\times 5) = (10\,;\,-10)$.

Notons $C(x_C\,;\,y_C)$. Alors $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(x_C - 2\,;\,y_C + 1)$.

Égalité des abscisses : $x_C - 2 = 10$, donc $x_C = 12$.

Égalité des ordonnées : $y_C + 1 = -10$, donc $y_C = -11$. Ainsi $C(12\,;\,-11)$.

L'abscisse de $C$ est donc 12.

$k\vec{v}$ a pour coordonnées $(-2k\,;\,3k)$.

On additionne coordonnée par coordonnée : $\vec{w}$ a pour coordonnées $(5 - 2k\,;\,1 + 3k)$.

L'abscisse est nulle si $5 - 2k = 0$.

Donc $2k = 5$, soit $k = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$.

Vérification : avec $k = 2{,}5$, on obtient $\vec{w}(0\,;\,8{,}5)$. L'abscisse est bien nulle.

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : $(5 - (-3)\,;\,4 - 2) = (8\,;\,2)$.

Avec $D(x_D\,;\,y_D)$, le vecteur $\overrightarrow{DC}$ a pour coordonnées $(7 - x_D\,;\,-1 - y_D)$.

Égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ : $7 - x_D = 8$ donne $x_D = -1$ ; $-1 - y_D = 2$ donne $y_D = -3$. Donc $D(-1\,;\,-3)$.

Coordonnées de $\overrightarrow{BD}$ : $(-1 - 5\,;\,-3 - 4) = (-6\,;\,-7)$.

Le repère étant orthonormé : $BD = \sqrt{(-6)^2 + (-7)^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85}$.

À la calculatrice, $\sqrt{85} \approx 9{,}22$. La diagonale $BD$ mesure environ 9,22 cm.

$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(4 - (-2)\,;\,1 - (-1)) = (6\,;\,2)$.

$\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(0 - (-2)\,;\,5 - (-1)) = (2\,;\,6)$.

$\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées $(0 - 4\,;\,5 - 1) = (-4\,;\,4)$.

Dans un repère orthonormé : $AB^2 = 6^2 + 2^2 = 40$ et $AC^2 = 2^2 + 6^2 = 40$.

Comme $AB^2 = AC^2$, on a $AB = AC = \sqrt{40}$ : le triangle est isocèle en $A$.

$BC^2 = (-4)^2 + 4^2 = 32$, donc $BC = \sqrt{32}$.

Périmètre : $2\sqrt{40} + \sqrt{32} \approx 12{,}65 + 5{,}66 = 18{,}31$. Le périmètre vaut environ 18,31 cm.