Simulation et fluctuation : cours de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fréquence observée sur un échantillon varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
Simuler, c'est faire jouer à un ordinateur une expérience aléatoire un grand nombre de fois pour observer ces fluctuations.
Quand la proportion $p$ est connue, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ , avec $n\geq 25$ et $0{,}2\leq p\leq 0{,}8$ .
Plus l'échantillon est grand ( $n$ élevé), plus l'intervalle est étroit : la fréquence se stabilise autour de $p$ .
Décision : fréquence observée dans l'intervalle, on ne rejette pas l'hypothèse ; en dehors, on la rejette avec un risque d'erreur d'environ 5 %.

Pourquoi simuler et observer des fluctuations ?

Lance une pièce équilibrée dix fois : tu obtiens peut-être 4 « face », puis 7 « face » à la série suivante. Tu n'es pas surpris, et pourtant la probabilité d'obtenir « face » vaut bien $0{,}5$ à chaque lancer. Ce chapitre répond à une question très concrète : de combien le résultat observé a-t-il le droit de s'écarter de ce que prévoit la probabilité, avant qu'on se mette à douter ?

Tu connais déjà les probabilités sur un ensemble fini, les probabilités conditionnelles et les arbres pondérés. Tu sais donc calculer la probabilité d'un événement quand le modèle est donné. Ici, on change d'angle : on observe des résultats réels ou simulés, on calcule des fréquences, et on compare ces fréquences à la probabilité du modèle.

Le programme de seconde propose justement des activités de simulation. L'une d'elles consiste à regarder comment des fréquences se stabilisent quand on simule une expérience à deux issues, comme un jeu de dés.¹ Une autre ressource pédagogique invite à découvrir un intervalle de fluctuation, puis à analyser avec un regard critique un résultat obtenu sur un échantillon.²

Échantillon, fréquence et fluctuation d'échantillonnage

Pourquoi ce phénomène existe-t-il ? Parce que le hasard intervient à chaque tirage. Deux échantillons de 50 lancers ne contiennent jamais exactement les mêmes séquences de « pile » et de « face ». Leurs fréquences diffèrent donc un peu, tout en restant en général proches de $p$ .

Des exercices de simulation en Python proposent d'observer ce phénomène en répétant plusieurs fois des séries de $n$ lancers de pièces et en plaçant chaque résultat dans un nuage de points.³ Chaque point correspond à un échantillon : le nuage est étalé verticalement, mais il se concentre autour de la valeur attendue.

Simuler une expérience aléatoire

Les ressources du programme parlent d'échantillons « simulant une expérience à deux issues ».¹ Pour simuler, on code une issue par 1 (succès) et l'autre par 0 (échec). Une pièce, un dé dont on regarde seulement « 6 » ou « autre chose », un sondage où l'on regarde « oui » ou « non » sont des expériences à deux issues.

DéfinirChoisir le succès et sa probabilité p
GénérerProduire n nombres aléatoires 0 ou 1
CompterCalculer le nombre k de succès
FréquenceCalculer f = k / n
RépéterRefaire pour comparer les échantillons

Simuler un échantillon et calculer sa fréquence · Les cinq étapes d'une simulation d'échantillon.

ExempleProgramme Python pour une pièce équilibrée

from random import random

def frequence(n):
    k = 0
    for _ in range(n):
        if random() < 0.5:   # succès avec la probabilité 0,5
            k = k + 1
    return k / n

print(frequence(100))

La fonction random() renvoie un nombre aléatoire entre 0 et 1 ; l'inégalité random() < 0.5 est vraie une fois sur deux en moyenne. Chaque appel de frequence(100) donne une valeur légèrement différente : c'est la fluctuation.

Un énoncé d'activité demande par exemple d'écrire une fonction qui simule $n$ lancers de deux dés,³ ou d'adapter un code pour simuler un nombre quelconque de lancers.³ La logique reste la même : on remplace l'expérience réelle par un calcul répété.

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

Dire « au seuil de 95 % » revient à dire ceci : si tu prélèves un très grand nombre d'échantillons de taille $n$ , environ 95 % d'entre eux ont une fréquence qui tombe dans l'intervalle. Les quelque 5 % restants correspondent à des échantillons « extrêmes », situés de part et d'autre.⁴

Une activité de simulation propose d'ailleurs de tracer les bornes de l'intervalle de fluctuation à 95 % sous forme de lignes horizontales, puis de calculer la proportion d'échantillons situés en dehors.³ Tu peux ainsi vérifier de tes yeux que la grande majorité des points reste entre les deux lignes.

Demi-largeur de l'intervalle selon la taille n · Plus n est grand, plus la demi-largeur 1/√n est petite.

Largeur de l'intervalle et taille de l'échantillon

La largeur de l'intervalle vaut $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ . Elle ne dépend que de $n$ , pas de $p$ . Quand $n$ augmente, $\sqrt{n}$ augmente et la largeur diminue : plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est étroit, donc plus la fréquence est proche de $p$ . C'est la traduction mathématique de la stabilisation des fréquences observée dans les simulations de dés.¹

Intervalles pour p = 0,5 selon la taille de l'échantillon
Taille n	Demi-largeur 1/√n	Intervalle pour p = 0,5
25	0,2	[0,3 ; 0,7]
100	0,1	[0,4 ; 0,6]
400	0,05	[0,45 ; 0,55]
2 500	0,02	[0,48 ; 0,52]
10 000	0,01	[0,49 ; 0,51]

Intervalles pour p = 0,5 selon la taille de l'échantillon · Valeurs calculées avec la formule du cours.

Cette propriété explique pourquoi les sondages portent sur plusieurs centaines ou milliers de personnes et pourquoi un lancer de pièce répété seulement dix fois n'apprend presque rien. À titre d'illustration, sur 10 lancers d'une pièce équilibrée, la source de référence donne pour le nombre de « face » un intervalle de fluctuation de 2 à 8, soit des fréquences de $0{,}2$ à $0{,}8$ : un résultat de 9 « face » sur 10 est alors jugé suspect, même s'il n'est pas impossible.⁴

Prendre une décision avec l'intervalle de fluctuation

Une application naturelle de l'intervalle est d'aider à trancher : une observation est-elle compatible avec une hypothèse, ou faut-il la remettre en cause ? Cet outil permet de décider avec un risque d'erreur contrôlé.⁴

Analyse critique et erreurs fréquentes

Les ressources pédagogiques insistent sur une démarche en plusieurs étapes : synthétiser les données, les représenter, caractériser l'échantillon, simuler, calculer, puis interpréter.² L'interprétation est la partie la plus délicate, et c'est là que se glissent la plupart des erreurs.

Exercices corrigés

Exercice 1 Intervalle pour une pièce équilibrée

★☆☆Environ 5 min

On lance 400 fois une pièce équilibrée. On s'intéresse à la fréquence de « pile ».

Vérifie que la formule de l'intervalle de fluctuation s'applique.
Calcule l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de cette fréquence.
On obtient 188 « pile ». Que conclus-tu ?

Indice 1

La probabilité de « pile » vaut $p=0{,}5$ et $n=400$ .

Indice 2

Calcule d'abord $\dfrac{1}{\sqrt{400}}$ , puis ajoute et retire cette valeur à $p$ .

Voir la correction pas à pas

Conditions : $n=400\geq 25$ et $p=0{,}5$ vérifie $0{,}2\leq p\leq 0{,}8$ . La formule s'applique.
Demi-largeur : $\dfrac{1}{\sqrt{400}}=\dfrac{1}{20}=0{,}05$ .
Intervalle : $I=[0{,}5-0{,}05\ ;\ 0{,}5+0{,}05]=[0{,}45\ ;\ 0{,}55]$ .
Fréquence observée : $f=\dfrac{188}{400}=0{,}47$ .
Comme $0{,}45\leq 0{,}47\leq 0{,}55$ , on a $f\in I$ : on ne rejette pas l'hypothèse d'une pièce équilibrée.

La demi-largeur de l'intervalle est $0{,}05$ et la fréquence $0{,}47$ est à l'intérieur : le résultat est compatible avec une pièce équilibrée.

Exercice 2 Contrôle de qualité

★★☆Environ 10 min

Une usine annonce que $25\ \%$ de ses pièces sont de couleur bleue. Un client prélève au hasard 400 pièces et en compte 96 bleues.

Détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de pièces bleues dans un échantillon de 400 pièces. Donne sa borne inférieure.
La déclaration de l'usine est-elle remise en cause ?

Indice 1

Ici $p=0{,}25$ : vérifie bien que $p$ est dans $[0{,}2\ ;\ 0{,}8]$ .

Indice 2

Compare la fréquence $\dfrac{96}{400}$ aux deux bornes.

Voir la correction pas à pas

Conditions : $n=400\geq 25$ et $0{,}2\leq 0{,}25\leq 0{,}8$ .
Demi-largeur : $\dfrac{1}{\sqrt{400}}=0{,}05$ .
Intervalle : $I=[0{,}25-0{,}05\ ;\ 0{,}25+0{,}05]=[0{,}20\ ;\ 0{,}30]$ . La borne inférieure vaut $0{,}20$ .
Fréquence observée : $f=\dfrac{96}{400}=0{,}24$ .
Comme $0{,}20\leq 0{,}24\leq 0{,}30$ , $f\in I$ : on ne rejette pas la déclaration de l'usine.

Avec 96 pièces bleues sur 400, la fréquence $0{,}24$ est dans $[0{,}20\ ;\ 0{,}30]$ : l'annonce de l'usine n'est pas remise en cause. Cela ne prouve pas que la proportion soit exactement $25\ \%$ .

Exercice 3 Quelle taille d'échantillon choisir ?

★★★Environ 12 min

On veut étudier une proportion $p=0{,}4$ avec un intervalle de fluctuation dont la demi-largeur ne dépasse pas $0{,}02$ .

Écris l'inéquation que doit vérifier $n$ .
Détermine la plus petite taille d'échantillon qui convient.
Si on prend un échantillon quatre fois plus petit, que devient la demi-largeur ?

Indice 1

Résous $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq 0{,}02$ en passant par $\sqrt{n}\geq\dots$

Indice 2

Pour la question 3, applique la propriété sur $4n$ : ici, $n$ est divisé par 4.

Voir la correction pas à pas

Inéquation : $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq 0{,}02$ .
Comme $\sqrt{n}>0$ , on a $\sqrt{n}\geq\dfrac{1}{0{,}02}=50$ .
En élevant au carré (les deux membres sont positifs) : $n\geq 50^2=2\,500$ . La plus petite taille est $n=2\,500$ .
Pour $n'=\dfrac{2\,500}{4}=625$ , la demi-largeur est $\dfrac{1}{\sqrt{625}}=\dfrac{1}{25}=0{,}04$ .
La demi-largeur a doublé : diviser $n$ par 4 multiplie la demi-largeur par 2.

Il faut au moins 2 500 observations pour atteindre une demi-largeur de $0{,}02$ . Avec 625 observations, la demi-largeur monte à $0{,}04$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi la fréquence change-t-elle à chaque simulation alors que la probabilité reste la même ?

La probabilité $p$ est un nombre fixe du modèle, tandis que la fréquence est un résultat observé sur un échantillon précis. Comme chaque tirage est aléatoire, deux échantillons ne donnent pas exactement le même résultat. C'est la fluctuation d'échantillonnage. En augmentant la taille des échantillons, les fréquences se stabilisent autour de $p$ .¹

À quoi sert l'intervalle de fluctuation concrètement ?

Il sert à décider : un résultat observé est-il normal si l'on croit à la valeur $p$ annoncée, ou est-il trop étonnant pour qu'on garde cette croyance ? C'est un outil qui permet de décider avec un risque d'erreur contrôlé.⁴ On l'utilise par exemple pour savoir si une pièce est truquée ou si un pourcentage annoncé par une entreprise est crédible.

Que signifie « au seuil de 95 % » ?

Cela signifie que, si tu répètes l'expérience sur un très grand nombre d'échantillons de taille $n$ , environ 95 % des fréquences observées tombent dans l'intervalle.⁴ Il reste donc une petite chance, environ 5 %, qu'un échantillon donne une fréquence en dehors, même si l'hypothèse est vraie. C'est pourquoi on dit « on rejette avec un risque d'erreur d'environ 5 % » et non « on est sûr ».

Comment savoir si je dois utiliser l'intervalle de fluctuation ou autre chose ?

Regarde si la proportion $p$ est donnée dans l'énoncé (pièce équilibrée, annonce d'une entreprise, probabilité du modèle). Si oui, c'est l'intervalle de fluctuation. Si, au contraire, on cherche à estimer une proportion inconnue à partir d'un échantillon, c'est le rôle de l'intervalle de confiance.⁴ Dans ce chapitre, les exercices sur l'intervalle de fluctuation partent d'une valeur $p$ connue.

Dois-je savoir programmer en Python pour réussir ce chapitre ?

Il faut surtout comprendre ce que fait une simulation : répéter une expérience au hasard, compter les succès, calculer la fréquence. Les activités du programme proposent des programmes sous Python ou Jupyter pour observer ces phénomènes.¹ Tu dois savoir lire un petit programme comme celui du cours et en prévoir le comportement ; les calculs d'intervalles restent à faire à la main ou à la calculatrice.

Sources

Programme visé : Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique (Seconde) · Ministère de l'Éducation nationale

Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique (Seconde), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
AGIR Mathématiques - Statistiques & Probabilités (Lycée), Réseau Canopé. Consulté le 9 novembre 2026.
Probabilités et Statistiques - IREM, IREM (Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques). Consulté le 9 novembre 2026.
Intervalle de fluctuation, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Simulation atomistique, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi simuler et observer des fluctuations ?

Échantillon, fréquence et fluctuation d'échantillonnage

Simuler une expérience aléatoire

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

Largeur de l'intervalle et taille de l'échantillon

Prendre une décision avec l'intervalle de fluctuation

Analyse critique et erreurs fréquentes

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Exercice 1 Intervalle pour une pièce équilibrée

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