Simulation et fluctuation : exercices corrigés de Seconde

Conditions : $n = 100 \geq 25$ et $p = 0{,}5$ appartient à $[0{,}2\ ;\ 0{,}8]$. La formule s'applique.

On calcule $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}1$.

Borne inférieure : $0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}4$.

Borne supérieure : $0{,}5 + 0{,}1 = 0{,}6$.

L'intervalle est donc $I = [0{,}4\ ;\ 0{,}6]$.

Conditions : $n = 625 \geq 25$ et $0{,}2 \leq 0{,}6 \leq 0{,}8$. On peut utiliser la formule.

On calcule $\frac{1}{\sqrt{625}} = \frac{1}{25} = 0{,}04$.

Borne inférieure : $0{,}6 - 0{,}04 = 0{,}56$.

Borne supérieure : $0{,}6 + 0{,}04 = 0{,}64$.

L'intervalle est $I = [0{,}56\ ;\ 0{,}64]$.

Fréquence observée : $f = \frac{118}{400} = 0{,}295$.

Conditions : $n = 400 \geq 25$ et $p = 0{,}25$ est dans $[0{,}2\ ;\ 0{,}8]$.

On a $\frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}05$.

Intervalle : $I = [0{,}25 - 0{,}05\ ;\ 0{,}25 + 0{,}05] = [0{,}2\ ;\ 0{,}3]$.

Comparaison : $0{,}2 \leq 0{,}295 \leq 0{,}3$, donc $f$ appartient à $I$.

Conclusion rédigée : l'observation est compatible avec l'affirmation ; rien ne la remet en cause.

On veut $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0{,}05$.

Comme $\sqrt{n} > 0$, cela équivaut à $\sqrt{n} \geq \frac{1}{0{,}05} = 20$.

Les deux membres étant positifs, on élève au carré : $n \geq 20^2 = 400$.

La plus petite valeur entière qui convient est $n = 400$.

Vérification : pour $n = 400$, $\frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$, ce qui respecte la condition.

Les bornes sont celles de l'exercice 1 : $0{,}4$ et $0{,}6$, car $p = 0{,}5$ et $n = 100$.

Proportion attendue hors de l'intervalle : au plus $100\ \% - 95\ \% = 5\ \%$.

Nombre attendu : au plus $1000 \times 0{,}05 = 50$ échantillons environ.

L'élève trouve 38, soit une proportion de $0{,}038$. C'est moins que 50, ce qui est normal : pour $n = 100$, l'intervalle contient en réalité environ 96 % des fréquences, et une simulation fluctue elle aussi.

L'écart est faible et reste du même ordre de grandeur : ce résultat n'est pas anormal.

Fréquence observée : $f = \frac{1100}{2500} = 0{,}44$.

Conditions : $n = 2500 \geq 25$ et $p = 0{,}4$ est dans $[0{,}2\ ;\ 0{,}8]$.

On a $\frac{1}{\sqrt{2500}} = \frac{1}{50} = 0{,}02$.

Intervalle : $I = [0{,}38\ ;\ 0{,}42]$.

Comparaison : $0{,}44 > 0{,}42$, donc $f$ est hors de $I$.

Conclusion : l'affirmation du fabricant est mise en doute. Ce résultat serait très rare si la proportion réelle valait 0,4, et la décision se prend avec un risque d'erreur contrôlé ⁴.

Question 4 : avec $n = 25$, on a $\frac{1}{\sqrt{25}} = 0{,}2$ et l'intervalle devient $[0{,}2\ ;\ 0{,}6]$. Une fréquence de 0,44 y serait comprise : aucune conclusion ne serait possible.

Un petit échantillon donne un intervalle large, donc un test peu sensible.