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La fonction inverse : cours de Terminale technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La fonction inverse est $f(x)=\dfrac{1}{x}$ ; elle est définie sur $\mathbb{R}^*$ , c'est-à-dire pour tout réel sauf $0$ .
Elle est impaire : $f(-x)=-f(x)$ . Sa courbe est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine.
Sa dérivée est $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ , toujours strictement négative : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ , mais pas sur $\mathbb{R}^*$ entier.
Aux bornes : plus $x$ est proche de $0$ , plus $|f(x)|$ est grand ; plus $|x|$ est grand, plus $f(x)$ est proche de $0$ . La courbe a deux asymptotes : les axes.
Utile pour les situations de prix unitaire : un coût réparti sur $x$ unités vaut $\dfrac{\text{coût}}{x}$ .

Pourquoi étudier la fonction inverse ?

Tu as déjà croisé la fonction inverse sans forcément la nommer. Quand tu partages une facture de $60$ € entre $x$ personnes, chacun paie $\dfrac{60}{x}$ euros. Quand une voiture roule sur une distance fixe, sa durée de trajet est proportionnelle à $\dfrac{1}{\text{vitesse}}$ . Dans ces situations, plus la quantité au dénominateur augmente, plus le résultat diminue.

Le programme de la classe de terminale technologique prévoit d'étudier cette fonction pour elle-même, y compris son comportement aux bornes de son ensemble de définition.² Elle sert aussi à aborder des situations contextualisées de prix unitaire.²

Dans ce cours, tu vas :

définir la fonction inverse et son ensemble de définition ;
construire sa courbe à partir d'un tableau de valeurs ;
calculer sa dérivée en revenant au taux de variation ;
en déduire son sens de variation ;
comprendre ce qui se passe près de $0$ et très loin de $0$ ;
l'utiliser dans un problème concret.

Définition et ensemble de définition

Pourquoi exclure $0$ ? Parce qu'on ne peut pas diviser par zéro. Chercher « $\dfrac{1}{0}$ » revient à chercher un nombre qui, multiplié par $0$ , donnerait $1$ . Or un produit par $0$ vaut toujours $0$ : un tel nombre n'existe pas. La valeur $0$ est donc une valeur interdite.

L'ensemble de définition est ainsi formé de deux morceaux : les réels strictement négatifs et les réels strictement positifs. Cette coupure en deux morceaux explique beaucoup de choses plus loin, en particulier le sens de variation.

Représentation graphique : l'hyperbole

Pour tracer la courbe, on dresse un tableau de valeurs, en traitant séparément les $x$ négatifs et les $x$ positifs, puisque $0$ est exclu.

Valeurs de la fonction inverse
x	-4	-2	-1	-0,5	0,5	1	2	4
f(x) = 1/x	-0,25	-0,5	-1	-2	2	1	0,5	0,25

Valeurs de la fonction inverse · Les images ont le signe de x ; elles se répartissent en deux branches.

On place ces points dans un repère. On observe deux branches : l'une dans le quadrant en haut à droite (où $x>0$ et $f(x)>0$ ), l'autre dans le quadrant en bas à gauche (où $x<0$ et $f(x)<0$ ). Cette courbe s'appelle une hyperbole.

Courbe de la fonction inverse · L'hyperbole est symétrique par rapport à l'origine.

Dérivée de la fonction inverse

Le calcul de la dérivée de la fonction inverse est l'occasion de revenir à la définition du nombre dérivé, à partir du calcul d'un taux de variation.² C'est ce que l'on fait ici : on ne se contente pas d'apprendre la formule, on l'établit.

Démonstration · Démonstration par le taux de variation

Soit $a$ un réel non nul et $h$ un réel non nul tel que $a+h\neq 0$ . Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}$

On met les deux fractions du numérateur au même dénominateur :

$\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}=\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}=\frac{-h}{a(a+h)}$

On divise par $h$ :

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{-h}{a(a+h)\times h}=-\frac{1}{a(a+h)}$

Quand $h$ se rapproche de $0$ , le nombre $a+h$ se rapproche de $a$ , donc $a(a+h)$ se rapproche de $a^2$ . Le taux de variation se rapproche de $-\dfrac{1}{a^2}$ . Ce nombre est le nombre dérivé : $f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$ .

Taux de variationÉcrire (f(a+h) − f(a)) / h avec f = 1/x
Même dénominateur1/(a+h) − 1/a = −h / (a(a+h))
Simplifier par hOn obtient −1 / (a(a+h))
Faire tendre h vers 0Le résultat tend vers −1/a²

Établir la dérivée de la fonction inverse · Du taux de variation au nombre dérivé.

Sens de variation

On résume dans un tableau de variations. Il comporte une double barre en $0$ , parce que la fonction n'y est pas définie :

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$-$	$\vert\vert$	$-$
variations de $f$		↘	$\vert\vert$	↘

La fonction décroît d'un côté de la barre, puis décroît de nouveau de l'autre côté.

Comportement aux bornes de l'ensemble de définition

Le programme demande d'examiner comment la fonction inverse se comporte aux bornes de son ensemble de définition.² Ici, les « bornes » sont $0$ (par la gauche et par la droite) et $-\infty$ , $+\infty$ . On le fait en observant des valeurs, pas en démontrant des limites abstraites.

MéthodeQue se passe-t-il quand $x$ s'approche de $0$ ?

Prenons des valeurs positives de plus en plus petites :

$x$	$1$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
$f(x)$	$1$	$10$	$100$	$1\,000$

Plus $x>0$ se rapproche de $0$ , plus $f(x)$ devient grand et positif. On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives.²

Avec des valeurs négatives, par symétrie :

$x$	$-1$	$-0{,}1$	$-0{,}01$	$-0{,}001$
$f(x)$	$-1$	$-10$	$-100$	$-1\,000$

Ici $f(x)$ devient grand et négatif : $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs négatives.²

MéthodeQue se passe-t-il quand $|x|$ devient très grand ?

$x$	$10$	$100$	$1\,000$	$1\,000\,000$
$f(x)$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$	$0{,}000001$

Plus $x$ est grand, plus $f(x)$ se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre. On écrit que $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . Par symétrie, c'est aussi le cas quand $x$ tend vers $-\infty$ , avec des valeurs négatives.²

Résoudre des équations et des inéquations avec $\dfrac{1}{x}$

La fonction inverse dans des situations concrètes

Le contexte de prix unitaire est un terrain naturel pour la fonction inverse.² Dès qu'un total fixe $T$ est réparti entre $x$ unités, le prix par unité est $p(x)=T\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{T}{x}$ . La fonction $p$ se déduit de la fonction inverse, et ses propriétés se transposent.

ExempleUn coût fixe réparti sur des pièces

Un atelier doit payer $1\,200$ € pour régler une machine, quel que soit le nombre de pièces produites. Le coût de réglage par pièce, un prix unitaire, est :²

$c(x)=\frac{1\,200}{x}\quad\text{pour }x>0.$

Pour $x=80$ pièces : $c(80)=\dfrac{1\,200}{80}=15$ € par pièce.
Pour $x=240$ pièces : $c(240)=5$ € par pièce.

On lit trois choses :

$c$ est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : produire plus de pièces fait baisser le coût par pièce.
Cette baisse est de plus en plus lente, comme la courbe de l'inverse qui s'aplatit.
Le coût par pièce se rapproche de $0$ sans jamais l'atteindre : il y aura toujours un coût de réglage à répartir.

On n'étudie ici que $x>0$ , car un nombre de pièces est positif : la situation concrète ne conserve que la branche de droite de l'hyperbole.

Méthode de synthèse pour un exercice type

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer des images

★☆☆Environ 5 min

Soit $f$ la fonction inverse.

Donne l'ensemble de définition de $f$ .
Calcule $f(0{,}25)$ .
Sans calculer, compare $f(-2)$ et $f(-8)$ en justifiant.

Indice 1

Une image de la fonction inverse est l'inverse du nombre : on retourne la fraction.

Indice 2

Pour comparer, regarde dans quel intervalle se trouvent les deux nombres, puis utilise le sens de variation.

Voir la correction pas à pas

Le dénominateur ne peut pas être nul : $f$ est définie sur $\mathbb{R}^*$ , c'est-à-dire sur $]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[$ .
On écrit $0{,}25=\dfrac{1}{4}$ , donc $f(0{,}25)=\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4$ .
Les nombres $-2$ et $-8$ sont dans $]-\infty\,;0[$ , où $f$ est strictement décroissante. Comme $-8<-2$ , l'ordre s'inverse : $f(-8)>f(-2)$ .
Vérification : $f(-8)=-0{,}125$ et $f(-2)=-0{,}5$ , et $-0{,}125>-0{,}5$ .

Retiens : une image se calcule en prenant l'inverse, et une comparaison se justifie par l'intervalle où l'on se trouve.

Exercice 2 Nombre dérivé et tangente

★★☆Environ 10 min

Soit $f$ la fonction inverse et $\mathcal{C}$ sa courbe. On s'intéresse au point $A$ d'abscisse $2$ .

Calcule $f(2)$ .
Calcule le nombre dérivé $f'(2)$ .
Détermine l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ .

Réponds à la question 2 dans la zone de résultat.

Indice 1

La formule à utiliser est $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ .

Indice 2

L'équation de la tangente est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $a=2$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $f(2)=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ , donc $A(2\,;0{,}5)$ .
On applique la formule : $f'(2)=-\dfrac{1}{2^2}=-\dfrac{1}{4}=-0{,}25$ .
On écrit $y=-0{,}25\,(x-2)+0{,}5$ .
On développe : $y=-0{,}25x+0{,}5+0{,}5=-0{,}25x+1$ .
Contrôle : pour $x=2$ , on retrouve $y=-0{,}5+1=0{,}5$ , ordonnée de $A$ .

Le nombre dérivé $-0{,}25$ est négatif, ce qui est cohérent avec une courbe qui descend. La tangente en $A$ est la droite d'équation $y=-0{,}25x+1$ .

Exercice 3 Un coût réparti : à partir de quand passe-t-on sous le seuil ?

★★★Environ 15 min

Une association loue un car pour une sortie. La location coûte $1\,200$ € au total, quel que soit le nombre de participants. Le prix par participant est $p(x)=\dfrac{1\,200}{x}$ , où $x$ est le nombre de participants ( $x$ entier, $x\geqslant 1$ ).

Calcule $p(80)$ .
Justifie que $p$ est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ .
Quel est le plus petit nombre entier de participants pour que le prix par participant soit strictement inférieur à $5$ € ?

Réponds à la question 3 dans la zone de résultat.

Indice 1

Écris $p(x)=1\,200\times\dfrac{1}{x}$ : la dérivée est celle de l'inverse multipliée par $1\,200$ .

Indice 2

Résous $\dfrac{1\,200}{x}<5$ avec $x>0$ , puis choisis le premier entier strictement supérieur au seuil.

Voir la correction pas à pas

On calcule $p(80)=\dfrac{1\,200}{80}=15$ €.
On dérive : $p'(x)=1\,200\times\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{1\,200}{x^2}$ , qui est strictement négatif pour tout $x>0$ . Donc $p$ est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$ .
On résout, avec $x>0$ : $\dfrac{1\,200}{x}<5$ . On multiplie par $x>0$ : $1\,200<5x$ , soit $x>240$ .
Pour $x=240$ , le prix est exactement $5$ €, qui n'est pas strictement inférieur à $5$ €. Le plus petit entier strictement supérieur à $240$ est $241$ .
Vérification : $p(241)=\dfrac{1\,200}{241}\approx 4{,}98$ €, qui est bien inférieur à $5$ €.

Il faut au moins $241$ participants pour descendre strictement sous $5$ € par personne. La décroissance de $p$ garantit que le prix reste sous $5$ € pour tout nombre de participants supérieur.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi ne peut-on pas calculer $f(0)$ pour la fonction inverse ?

Parce que $\dfrac{1}{0}$ n'existe pas : il faudrait un nombre qui, multiplié par $0$ , donne $1$ , et un produit par $0$ vaut toujours $0$ . C'est pour cela que $0$ est exclu de l'ensemble de définition, et que la courbe est en deux morceaux séparés.

La dérivée est négative : la fonction est donc décroissante sur tout son ensemble de définition ?

Non. Une dérivée négative donne la décroissance sur un intervalle. Ici, l'ensemble de définition est la réunion de deux intervalles, et la fonction est décroissante sur chacun, pas sur l'ensemble entier. Test : $f(-1)=-1$ est plus petit que $f(1)=1$ , alors que $-1<1$ . Écris toujours « sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ ».

Comment savoir si une courbe est une hyperbole d'inverse ?

Elle a deux branches : l'une en haut à droite, l'autre en bas à gauche. Elle ne touche jamais les axes, qui sont ses asymptotes, et elle est symétrique par rapport à l'origine. Un test rapide : le produit $x\times f(x)$ doit toujours valoir $1$ pour la fonction inverse. Par exemple, le point $(4\,;0{,}25)$ convient car $4\times0{,}25=1$ .

À quoi sert la fonction inverse dans la vie réelle ?

Elle intervient chaque fois qu'une quantité fixe est partagée entre un nombre variable d'éléments : un coût réparti entre des participants, un prix unitaire, un trajet dont la durée dépend de la vitesse. Dans tous ces cas, plus le dénominateur augmente, plus la part diminue, d'abord vite puis de plus en plus lentement.

Quelle différence entre $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x^2}$ dans la dérivée ?

$\dfrac{1}{x}$ est la fonction elle-même, et $-\dfrac{1}{x^2}$ est sa dérivée. Comme $x^2>0$ pour tout $x\neq0$ , le signe moins rend la dérivée toujours strictement négative, ce qui explique la décroissance. Pour retenir : « on dérive l'inverse, on obtient moins l'inverse du carré ».

Sources

Programme visé : Bulletin officiel spécial n°8 du 25 juillet 2019 — Programme de mathématiques, Terminale technologique · Ministère de l'Éducation nationale

Bulletin officiel spécial n°8 du 25 juillet 2019 — Programme de mathématiques, Terminale technologique, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Documents pédagogiques — Fonction inverse, Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.

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