Fonction inverse : exercices corrigés de Terminale techno

$f(2)=\frac{1}{2}=0{,}5$.

$f(-4)=\frac{1}{-4}=-0{,}25$ : le nombre est négatif, donc son inverse l'est aussi.

$f(0{,}5)=\frac{1}{0{,}5}=2$, car $0{,}5\times 2=1$.

Pour $x=0$, il faudrait écrire $\frac{1}{0}$, ce qui n'a aucun sens : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1. Donc 0 n'a pas d'image par $f$.

On remplace $x$ par 8 : $p(8)=\frac{24}{8}$.

On calcule : $\frac{24}{8}=3$.

On écrit l'unité : chaque élève reçoit 3 €.

On écrit $0{,}125$ sous forme de fraction : $0{,}125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}$.

L'équation devient $\frac{1}{x}=\frac{1}{8}$.

Deux nombres non nuls sont égaux si et seulement si leurs inverses sont égaux, donc $x=8$.

Vérification : $\frac{1}{8}=0{,}125$. La solution est bien $x=8$.

$f(0{,}1)=10$, $f(0{,}01)=100$, $f(0{,}001)=1000$ : les images deviennent de plus en plus grandes et restent positives. On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives.

$f(-0{,}1)=-10$, $f(-0{,}01)=-100$, $f(-0{,}001)=-1000$ : les images deviennent de plus en plus grandes en valeur absolue, mais négatives. On dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs négatives.

$f(10)=0{,}1$, $f(100)=0{,}01$, $f(1000)=0{,}001$ : les images se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre.

La courbe se rapproche de l'axe des ordonnées près de 0, et de l'axe des abscisses quand $x$ est très grand. Ces deux comportements aux bornes de l'ensemble de définition sont attendus au programme ².

Le taux de variation est $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}$.

Au même dénominateur : $\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\frac{-h}{2(2+h)}$.

On divise par $h$ : le taux vaut $\frac{-1}{2(2+h)}$.

Quand $h$ se rapproche de 0, $2+h$ se rapproche de 2, donc le taux se rapproche de $\frac{-1}{2\times 2}=-\frac{1}{4}$.

Ainsi $f'(2)=-\frac{1}{4}=-0{,}25$. On retrouve la formule $-\frac{1}{a^2}$ avec $a=2$.

$f(2)=\frac{1}{2}$ et $f'(2)=-\frac{1}{4}$.

On applique la formule : $y=-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{2}$.

On développe : $y=-\frac{1}{4}x+\frac{2}{4}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x+1$.

L'ordonnée à l'origine est le terme constant : 1. Vérification avec $x=0$ : $-\frac{1}{4}\times(0-2)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Question 1 : sur $]0\,;+\infty[$, la fonction inverse est décroissante, donc elle inverse les inégalités. $\frac{1}{x}\geq\frac{1}{5}$ équivaut à $x\leq 5$.

On garde la contrainte $x>0$ : l'ensemble des solutions est $]0\,;5]$.

Question 2, cas $x<0$ : $\frac{1}{x}$ est négatif, donc strictement inférieur à 2. Tous les $x<0$ conviennent.

Cas $x>0$ : on multiplie par $x>0$, ce qui conserve le sens : $1<2x$, soit $x>\frac{1}{2}$.

L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;0[\,\cup\,]\frac{1}{2}\,;+\infty[$. Contrôle : $x=1$ donne $1<2$, vrai ; $x=0{,}25$ donne $4<2$, faux.

$M(250)=2+\frac{500}{250}=2+2=4$. Le coût moyen est de 4 € par objet.

On résout $2+\frac{500}{x}=2{,}5$, soit $\frac{500}{x}=0{,}5$.

Alors $x=\frac{500}{0{,}5}=1000$. Il faut fabriquer 1000 objets.

Pour $x>0$, $\frac{500}{x}>0$ donc $M(x)>2$ : le coût moyen reste strictement supérieur à 2 €.

Quand $x$ grandit, $\frac{500}{x}$ se rapproche de 0, donc $M(x)$ se rapproche de 2 € sans l'atteindre : c'est le prix de la matière, que les frais fixes ne peuvent plus alourdir beaucoup.