Mathématiques · Terminale technologiqueBac

Fonction inverse : fiche de révision de Terminale technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La fonction inverse associe à tout réel $x$ non nul le nombre $\frac{1}{x}$ ; elle n'est pas définie en $0$ .
Sa dérivée est $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ : elle est toujours négative, donc $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ , mais pas sur $\mathbb{R}^*$ entier.
Aux bornes de l'ensemble de définition, il faut étudier le comportement : $\frac{1}{x}$ devient très grand près de $0$ et très proche de $0$ quand $|x|$ est très grand.
Elle sert dans les situations de prix unitaire : plus la quantité augmente, plus le prix par unité baisse.

Définition et ensemble de définition

Diviser par zéro est impossible : c'est la raison pour laquelle $0$ n'appartient pas à l'ensemble de définition. Le graphique en garde la trace : la courbe se compose de deux branches, l'une pour les $x$ négatifs, l'autre pour les $x$ positifs. En Terminale technologique, on s'intéresse aussi à ce que deviennent les images quand $x$ s'approche de $0$ ou s'en éloigne beaucoup ².

Dérivée et variations

Pour obtenir la dérivée de la fonction inverse, on revient à la définition du nombre dérivé, à partir du taux de variation ². Voici le calcul, pas à pas.

Démonstration · Calcul de la dérivée

Soit $x\neq 0$ et $h$ non nul tel que $x+h\neq 0$ . Le taux de variation entre $x$ et $x+h$ vaut :

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}=\frac{-h}{h\,x(x+h)}=-\frac{1}{x(x+h)}.$

Quand $h$ se rapproche de $0$ , $x+h$ se rapproche de $x$ , et l'expression se rapproche de $-\dfrac{1}{x^2}$ . Donc :

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}.$

MéthodeEn déduire les variations

Un carré est positif et $x^2\neq 0$ ici, donc $x^2>0$ .
Ainsi $-\dfrac{1}{x^2}<0$ pour tout $x\neq 0$ .
La dérivée est strictement négative : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$\parallel$	$-$
$f$		$\searrow$	$\parallel$	$\searrow$

Comportement aux bornes et applications

Aux bornes de l'ensemble de définition, on regarde ce que deviennent les images quand $x$ s'approche de $0$ ou quand $|x|$ devient très grand ². On peut le deviner avec un tableau de valeurs.

ExempleValeurs qui s'approchent de 0

$x$	$1$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
$\dfrac{1}{x}$	$1$	$10$	$100$	$1\,000$

Plus $x$ positif est proche de $0$ , plus $\dfrac{1}{x}$ est grand. Pour $x$ négatif proche de $0$ , les images sont de plus en plus grandes en valeur absolue, mais négatives.

Au contraire, pour $x=10$ , $100$ , $1\,000$ , on trouve $0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ : les images se rapprochent de $0$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi la courbe de la fonction inverse est-elle en deux morceaux ?

Parce que $0$ n'a pas d'image : on ne peut pas calculer $\frac{1}{0}$ . L'ensemble de définition est coupé en deux intervalles, $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$ , et chacun donne une branche de la courbe.

Comment justifier les variations de la fonction inverse au bac ?

Calcule la dérivée $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ , remarque que $x^2>0$ donc que $f'(x)<0$ , puis conclus que $f$ est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles. Précise toujours « sur chacun des intervalles » et pas « sur $\mathbb{R}^*$ ».

À quoi sert la fonction inverse dans la vie courante ?

Elle modélise les situations de prix unitaire ² : un coût total fixé partagé entre $x$ personnes ou réparti sur $x$ objets donne un coût par unité de la forme $\frac{\text{coût}}{x}$ , qui diminue quand $x$ augmente.

Sources

Programme visé : Bulletin officiel spécial n°8 du 25 juillet 2019 — Programme de mathématiques, Terminale technologique · Ministère de l'Éducation nationale

Bulletin officiel spécial n°8 du 25 juillet 2019 — Programme de mathématiques, Terminale technologique, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.
Documents pédagogiques — Fonction inverse, Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 11 novembre 2026.

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