Divisibilité et division euclidienne : cours de Terminale expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
a divise b (a non nul) s'il existe un entier k tel que b=ak ; on dit aussi que b est un multiple de a.
Si a divise b et c, alors a divise toute combinaison bu+cv avec u et v entiers relatifs ; la divisibilité est transitive.
Division euclidienne de a (dans Z) par d (dans N∗) : il existe un unique couple (q,r) avec a=dq+r et 0≤r<d.
Le reste est toujours positif ou nul et strictement plus petit que le diviseur, même si a est négatif.
d divise a si et seulement si le reste de la division de a par d est nul ; distinguer les restes possibles permet de raisonner par disjonction de cas.
Pourquoi étudier la divisibilité
Quand tu partages 100 billes entre 7 joueurs, chacun en reçoit 14 et il en reste 2. Ce geste très simple est la division euclidienne, et c'est l'un des outils de base de l'arithmétique : c'est sur elle que reposent les premiers théorèmes sur les nombres entiers ainsi que l'arithmétique modulaire, celle des congruences 6. Elle sert aussi à calculer un PGCD avec l'algorithme d'Euclide et à écrire un entier dans une base quelconque 6.
Dans ce chapitre, tu reprends des notions vues au collège (multiple, diviseur, reste) et tu leur donnes une forme rigoureuse. Le programme de l'option demande d'effectuer la division euclidienne d'un élément de Z par un élément de N∗1, ce qui ajoute une difficulté nouvelle par rapport au collège : le dividende peut être négatif.
La divisibilité dans les entiers relatifs
Propriétés de la divisibilité
Démonstration · Preuve de la transitivité
Supposons b=ak et c=bm avec k et m entiers. Alors c=(ak)m=a(km). Comme km est un entier, a∣c.
Démonstration · Preuve de la combinaison linéaire
Écrivons b=ak et c=ak′ avec k et k′ entiers. Alors
bu+cv=aku+ak′v=a(ku+k′v).
L'entier ku+k′v convient, donc a∣bu+cv.
Démonstration · Preuve de la propriété 4
Supposons a∣b et b∣a, avec a et b non nuls. Il existe des entiers k et k′ tels que b=ak et a=bk′. Donc a=akk′ et, comme a=0, kk′=1. Deux entiers dont le produit vaut 1 valent tous deux 1 ou tous deux −1. Ainsi b=a ou b=−a.
Démonstration · Preuve de la propriété 5
Si b=ak avec b=0, alors k=0, donc ∣k∣≥1 puisque k est un entier. D'où ∣b∣=∣a∣×∣k∣≥∣a∣.
Critères de divisibilité
Les critères de divisibilité usuels (pour 2, pour 5, pour 10, puis pour 3, 4 et 9) sont déjà rencontrés à l'école et au collège 2. À l'école élémentaire, seuls ceux de 2, 5 et 10 figurent au programme 5. En Terminale, on ne les apprend pas seulement : on les démontre, et c'est ce qui est attendu de toi.
Démonstration · Preuve des critères par 2, 5 et 10
Notons u le chiffre des unités. Alors N=10m+u où m est un entier. Comme 10=2×5, les nombres 2, 5 et 10 divisent 10m. Par la propriété de combinaison linéaire, chacun d'eux divise N si et seulement s'il divise u. Pour un chiffre u de 0 à 9, cela donne les critères énoncés.
Démonstration · Preuve du critère par 4
Notons p le nombre formé par les deux derniers chiffres. Alors N=100m+p. Or 100=4×25, donc 4 divise 100m. Ainsi 4 divise N si et seulement s'il divise p.
Démonstration · Preuve des critères par 3 et 9
Écrivons N=ak10k+⋯+a110+a0, où les ai sont les chiffres, et notons S=ak+⋯+a0 leur somme. Alors
N−S=ak(10k−1)+⋯+a1(10−1).
Or 10i−1=99…9 (avec i chiffres 9) est un multiple de 9, donc de 3. Par combinaison linéaire, N−S est un multiple de 9. Si 9 divise S, alors 9 divise N=S+(N−S). Réciproquement, si 9 divise N, alors 9 divise S=N−(N−S). Le raisonnement est identique avec 3.
Le théorème de la division euclidienne
Au collège, tu as posé des divisions avec un reste. Au cycle 3, on effectue la division euclidienne d'un entier par un entier inférieur à 100 5, et le travail continue au cycle 4 2. Il s'agit maintenant d'énoncer proprement ce qu'on fait, d'abord pour des entiers naturels, puis pour un dividende relatif.
Démonstration du théorème
La démonstration se fait en deux temps : l'existence du couple, puis son unicité. Pour l'existence, on s'appuie sur le fait que toute partie non vide de N possède un plus petit élément, technique classique dans ce type de preuve 4.
Démonstration · Existence du couple $(q, r)$
Soit a∈Z et d∈N∗. Considérons l'ensemble
E={a−dk:k∈Z et a−dk≥0}.
E n'est pas vide. Prenons k=−∣a∣. Alors a−dk=a+d∣a∣≥a+∣a∣≥0, puisque d≥1. Cet entier appartient à E.
E a un plus petit élément. C'est une partie non vide de N. Notons r son plus petit élément et q l'entier k associé, de sorte que r=a−dq, c'est-à-dire a=dq+r, avec r≥0.
On a r<d. Si l'on avait r≥d, alors r−d=a−d(q+1) serait un élément de E strictement plus petit que r, ce qui contredit la minimalité de r. Donc 0≤r<d.
Démonstration · Unicité du couple $(q, r)$
Supposons a=dq+r=dq′+r′ avec 0≤r<d et 0≤r′<d. Alors d(q−q′)=r′−r. Or −d<r′−r<d, donc −d<d(q−q′)<d. En divisant par d>0, on obtient −1<q−q′<1. Comme q−q′ est un entier, q−q′=0, donc q=q′, puis r=r′.
Calculer un quotient et un reste
Calculer a / dObtenir le quotient décimal
Arrondir vers le basq est le plus grand entier inférieur ou égal
Calculer le rester = a − d × q
Vérifier0 ≤ r < d et a = dq + r
Trouver le quotient et le reste · Méthode pour tout dividende, positif ou négatif.
Divisions euclidiennes par 5
Dividende a
Écriture a = 5q + r
Quotient q
Reste r
23
23 = 5 × 4 + 3
4
3
5
5 = 5 × 1 + 0
1
0
0
0 = 5 × 0 + 0
0
0
−1
−1 = 5 × (−1) + 4
−1
4
−23
−23 = 5 × (−5) + 2
−5
2
Divisions euclidiennes par 5 · Le reste est toujours compris entre 0 et 4.
Utiliser la division euclidienne dans un raisonnement
Au cycle 4 déjà, on montre qu'un produit n'est pas multiple de 3 par une disjonction de cas suivant les restes de la division euclidienne 2. En Terminale, cette technique devient un outil général : on écrit l'entier sous la forme dq+r et on traite chaque valeur possible de r.
Exercices corrigés
Exercice 1 Quotient et reste avec un dividende négatif
★☆☆Environ 5 min
Effectue la division euclidienne de −47 par 6 et donne le reste. Vérifie ensuite ton résultat en recalculant 6q+r.
Indice 1
Calcule 6−47 et arrondis vers le bas.
Indice 2
Le reste doit être compris entre 0 et 5.
Voir la correction pas à pas
On calcule 6−47≈−7,83.
On arrondit vers le bas : le quotient est q=−8.
On calcule le reste : r=−47−6×(−8)=−47+48=1.
On vérifie l'encadrement : 0≤1<6, donc le reste est valable.
On vérifie l'égalité : 6×(−8)+1=−48+1=−47.
La division euclidienne de −47 par 6 s'écrit −47=6×(−8)+1 : le quotient vaut −8 et le reste vaut 1.
Exercice 2 Retrouver le diviseur
★☆☆Environ 6 min
Dans la division euclidienne de 991 par un entier naturel d, le quotient est 27 et le reste est 19. Détermine d, puis vérifie que le reste est cohérent avec ce diviseur.
Indice 1
Écris la relation a=dq+r avec les données.
Indice 2
Isole d en passant le reste de l'autre côté.
Voir la correction pas à pas
La relation de la division euclidienne s'écrit 991=27d+19.
On isole le terme en d : 27d=991−19=972.
On divise par 27 : d=27972=36.
On vérifie la condition sur le reste : 0≤19<36, donc c'est bien une division euclidienne.
Le diviseur est d=36. Contrôle : 36×27+19=972+19=991.
Exercice 3 Quand $n+3$ divise $2n+11$
★★☆Environ 10 min
Détermine l'entier naturel n tel que n+3 divise 2n+11 et que n+3>3. Vérifie ta réponse.
Indice 1
Fais apparaître n+3 dans 2n+11.
Indice 2
Si n+3 divise 2n+11 et 2(n+3), il divise la différence.
Voir la correction pas à pas
On écrit 2n+11=2(n+3)+5.
Comme n+3 divise 2(n+3), il divise 2n+11 si et seulement s'il divise 5.
Les diviseurs positifs de 5 sont 1 et 5. Comme n+3≥3, on a n+3=5.
On en déduit n=2.
Vérification : n+3=5 et 2n+11=15=5×3.
Le seul entier convenable est n=2.
Exercice 4 Un produit divisible par 3
★★★Environ 12 min
Démontre que pour tout entier relatif n, le nombre n(n+1)(n+2) est divisible par 3.
Indice 1
Écris n=3q+r avec r dans {0,1,2}.
Indice 2
Dans chaque cas, repère le facteur qui est un multiple de 3.
Voir la correction pas à pas
On écrit la division euclidienne de n par 3 : n=3q+r avec r∈{0,1,2}.
Cas r=0 : n=3q est multiple de 3, donc le produit l'est.
Cas r=1 : n+2=3q+3=3(q+1) est multiple de 3, donc le produit l'est.
Cas r=2 : n+1=3q+3=3(q+1) est multiple de 3, donc le produit l'est.
Les cas épuisent toutes les possibilités pour r : la propriété est vraie pour tout entier n.
Pour tout entier relatif n, 3 divise n(n+1)(n+2). La méthode générale : choisir le diviseur, écrire la division euclidienne, traiter chaque reste.
Quiz
9 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La bonne écriture est −47=6×(−8)+1 : le reste 1 vérifie 0≤1<6. La première égalité est exacte (−42−5=−47) mais son reste est négatif, donc ce n'est pas une division euclidienne. La troisième est fausse (−42+5=−37), et la dernière aussi (48+1=49).
Faux. Dire que 0 divise 5 reviendrait à écrire 5=0×k, ce qui est impossible. Zéro ne divise que zéro, et l'on exclut ce cas dans la définition en exigeant un diviseur non nul. L'erreur tentante vient de la confusion avec « 5 divise 0 », qui est vraie.
On a 7×289=2023, donc 2025=7×289+2 et le reste vaut 2. Un reste de 7 ou plus viendrait d'un quotient trop petit et dépasserait le diviseur ; vérifie toujours que r<d.
On a 36=4×9=12×3, donc 4, 9 et 12 divisent 36. En revanche, 36=8×4+4 : le reste n'est pas nul, 8 ne divise pas 36. Le piège est de croire que 8 convient parce que 4 convient.
Seule 17=5×3+2 vérifie 0≤r<5 avec r=2. Les autres égalités sont exactes mais leur reste (7, −3 ou 12) n'est pas dans l'intervalle [0;5[ : la distribution n'est pas terminée tant que le reste est supérieur ou égal au diviseur.
Si b=ak et c=ak′, alors b+c=a(k+k′), 2b−3c=a(2k−3k′) et bc=a(kak′) : trois multiples de a. En revanche, b ne divise pas forcément c : 2∣4 et 2∣6, mais 4∤6.
7−100≈−14,29 ; on arrondit vers le bas, donc q=−15. Le reste est −100+105=5, bien compris entre 0 et 6. Si l'on prenait q=−14, on obtiendrait un reste de −2, négatif, donc incorrect.
Faux. Le reste d'une division euclidienne vérifie toujours 0≤r<d. Il est possible d'écrire −47=6×(−7)−5, mais cette écriture n'est pas la division euclidienne : le bon reste est 1.
Pour 4 725, la somme des chiffres vaut 4+7+2+5=18, multiple de 9. Pour 5 142 la somme est 12 (multiple de 3 mais pas de 9), pour 6 133 elle vaut 13 et pour 2 018 elle vaut 11. La confusion entre critère de 3 et critère de 9 est fréquente.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre « a divise b » et la division euclidienne de b par a ?
« a divise b » est une propriété : elle est vraie ou fausse. La division euclidienne est une opération qui s'applique à tous les couples d'entiers, avec un reste. Les deux se rejoignent ainsi : a divise b si et seulement si le reste de la division de b par a est égal à 0.
Pourquoi le reste doit-il être strictement inférieur au diviseur ?
Cette condition garantit l'unicité. Sans elle, on peut écrire 17=5×2+7 comme 17=5×3+2. La division est « terminée » quand on a épuisé les unités à distribuer : il ne reste alors pas assez d'éléments pour en donner un de plus à chacun 6.
Comment trouver le quotient quand le dividende est négatif ?
On arrondit le quotient décimal vers le bas, pas vers zéro. Pour −47÷6≈−7,83, le quotient est −8 et non −7. On calcule ensuite r=a−dq et on vérifie que r est entre 0 et d−1.
À quoi sert la division euclidienne en pratique ?
Elle donne la structure de l'arithmétique : elle sert à déterminer un PGCD par l'algorithme d'Euclide, à écrire un entier en base b6, et à classer les entiers selon leur reste, ce qui mène aux congruences. Elle permet aussi de ramener une question sur tous les entiers à un petit nombre de cas.
Quelles erreurs sont les plus pénalisées dans une copie ?
Oublier de vérifier que 0≤r<d, donner un reste négatif, et conclure d'une disjonction de cas sans avoir traité toutes les valeurs possibles du reste. Écris toujours « avec r∈{0,…,d−1} » et énumère les cas un par un.