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Quiz : divisibilité et division euclidienne (Terminale expertes)
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Diviser a par d (d non nul), c'est écrire avec : le reste est strictement inférieur au diviseur 4.
- On ne peut pas diviser par 0 : le principe même de la division euclidienne l'interdit 6.
- Le quotient et le reste sont uniques ; une égalité exacte comme n'est pas une division euclidienne, car le reste dépasse le diviseur 6.
- d divise a exactement quand le reste vaut 0 ; la division s'étend aux entiers relatifs, avec un reste toujours positif ou nul 16.
- Cet outil sert ensuite au PGCD par l'algorithme d'Euclide et à l'écriture d'un entier en base b 6.
Avant de commencer
Ce quiz couvre l'ensemble du chapitre : le vocabulaire de la division euclidienne, la condition sur le reste, les calculs de quotient et de reste, le lien avec la divisibilité, le cas des entiers relatifs et les usages de l'outil. Prends un brouillon : pour chaque calcul, pose l'égalité et vérifie que avant de répondre.
À chaque question, une explication te dit pourquoi la bonne réponse est juste et pourquoi l'erreur la plus tentante est fausse. Lis-la même quand tu as réussi : c'est là que se repèrent les pièges qui reviennent aux contrôles.
Quiz
16 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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On a et , donc avec : c'est bien la division euclidienne. Le couple , donne aussi une égalité exacte (), mais un reste négatif n'est pas permis. Les couples , et , donnent aussi , mais le reste y dépasse le diviseur , ce qui contredit la condition 4.
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On a et , donc avec . L'erreur tentante est de s'arrêter à un quotient trop petit, par exemple , qui donnerait un reste de : ce nombre est supérieur à , donc l'écriture n'est pas la division euclidienne 4.
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C'est faux : le principe même de la division euclidienne interdit de diviser un nombre par 6. On le voit avec la condition : si , il faudrait , ce qu'aucun nombre ne satisfait. Penser que « tout se passe comme avec » est une confusion : diviser par donne un reste nul, ce qui n'a aucun rapport.
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On a et , donc avec . L'erreur fréquente est de prendre comme quotient parce que est proche : mais dépasse , ce qui donnerait un reste négatif, interdit 4.
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Comme et , l'écriture vérifie : la première affirmation est juste. Pour la deuxième, est bien exact, mais : le dividende n'est pas épuisé 6. Le reste vaut et non , ce qui rend la quatrième fausse. Enfin ne divise pas , car le reste n'est pas nul.
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Le nombre par lequel on divise est le diviseur ; , le nombre que l'on divise, est le dividende ; est le quotient et le reste 6. La confusion fréquente entre dividende et diviseur vient de ce que les deux sont « donnés » au départ : le dividende est le grand nombre que l'on partage, le diviseur est la taille du partage.
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Le reste vérifie , donc il prend l'une des cinq valeurs 4. La liste de à est fausse deux fois : est possible (quand divise ) et ne l'est jamais. Dire que le reste peut être n'importe quel entier oublie la borne , qui est précisément ce qui rend le couple unique.
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On reconstitue . Le reste est bien inférieur à , la donnée est cohérente. Une erreur courante est de calculer ou : la relation fait intervenir un produit puis une somme, c'est-à-dire 4.
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C'est vrai : si , alors et est un multiple de ; réciproquement, si , l'égalité vérifie , donc c'est la division euclidienne et le reste est nul. C'est pour cette raison que la division euclidienne sert à étudier la divisibilité 1. Penser qu'un petit reste « presque nul » suffit est faux : seul le reste exactement égal à prouve la divisibilité.
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L'égalité montre que est un multiple de et de , donc que ces deux nombres le divisent. Le produit de deux entiers supérieurs à n'est jamais premier, ce qui exclut la troisième réponse. Enfin, un reste nul est parfaitement autorisé puisque la condition est 4.
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On a et , donc avec . Un contrôle rapide : dépasse , donc est bien le plus grand quotient possible. Sur une calculatrice, une fonction de type « reste » donne directement ce résultat 3.
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Comme , le reste vaut ou . Il vaut quand est pair, donc quand est impair. La valeur est impossible puisque . Dire que peut valoir ou est vrai pour un entier quelconque, mais ici l'hypothèse « impair » élimine : la parité se lit sur le reste de la division par 4.
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Cette division sert d'appui à plusieurs notions de l'arithmétique : on s'en sert pour obtenir le PGCD de deux entiers grâce à l'algorithme d'Euclide, et pour écrire un entier dans une base 6. Le programme d'expertes cite aussi cet algorithme et le calcul d'un couple de Bézout 1. Les autres usages proposés relèvent de l'algèbre ou de l'analyse et n'ont pas de lien direct avec le reste d'une division.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le reste doit-il être strictement inférieur au diviseur ?
Cette condition garantit que le dividende est « épuisé » : la distribution n'est complète que lorsque ce qui reste est inférieur au nombre de parts 6. Sans elle, on pourrait écrire une infinité d'égalités correctes, et le quotient ne serait pas unique. Avec , le couple est parfaitement déterminé 4. Pour vérifier ta réponse, contrôle toujours cette inégalité en dernier.
Quelle différence entre la division euclidienne et la division décimale ?
La division euclidienne travaille avec des entiers et s'arrête sur un quotient entier et un reste entier ; la division décimale continue après la virgule pour obtenir un quotient décimal. Au cycle 3, les deux divisions posées sont d'ailleurs travaillées séparément 5. En arithmétique, on utilise la première car le reste est une information précieuse : il dit si un nombre est divisible par un autre.
La division euclidienne marche-t-elle avec des nombres négatifs ?
Sources
- Programme de l'enseignement optionnel de mathématiques expertes (PDF), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Mathématiques - Nombres et calculs (Informer et accompagner), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Arithmétique et codes secrets - IREM Paris, IREM de Paris (Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques). Consulté le 6 novembre 2026.
- Sur différents types de démonstrations (division euclidienne en arithmétique), IREM de Paris. Consulté le 6 novembre 2026.
- Programmes de mathématiques - Cycle 3 (ressources académiques), Académie de Paris. Consulté le 6 novembre 2026.
- Division euclidienne, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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