Divisibilité et division euclidienne : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La division euclidienne de a par b (b entier strictement positif) donne un quotient q et un reste r tels que a=bq+r avec 0≤r<b.4
Diviser par 0 est impossible : le principe même de la division euclidienne l'interdit.6
Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur : on distribue jusqu'à épuisement.6
b divise a exactement quand le reste vaut 0.
Le programme étend la division à un entier relatif a divisé par un entier b≥1.1
Cet outil prépare les congruences, l'algorithme d'Euclide pour le PGCD et le couple de Bézout.61
La division euclidienne : ce qu'il faut savoir
Divisibilité : le cas où le reste est nul
Le cas des entiers relatifs
À quoi ça sert ensuite
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
47=6×7+5 et 0≤5<6, donc le reste est 5. Le choix 7 est le quotient, pas le reste. Le choix 11 vient de 47=6×6+11, égalité exacte mais qui n'est pas une division euclidienne puisque 11≥6.
Faux : le reste vérifie 0≤r<b, donc au plus 8. Un reste égal à 9 signifierait qu'on peut encore distribuer un tour complet, la division n'est alors pas terminée.
−17=5×(−4)+3 avec 0≤3<5. Le choix −2 correspond à −17=5×(−3)−2, vrai mais avec un reste négatif, donc pas euclidien. Le choix 2 s'obtient en changeant seulement le signe du reste de 17 par 5, ce qui ne tient pas compte de la position de −17 entre −20 et −15.
12×20=240 et 250−240=10<12, donc q=20 et r=10. Le quotient 21 est faux car 12×21=252>250 donnerait un reste négatif.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre « b divise a » et la division euclidienne ?
La division euclidienne existe pour tout couple (a,b) avec b≥1 et donne un reste. « b divise a » est le cas particulier où ce reste vaut 0.
Pourquoi le reste doit-il être strictement inférieur au diviseur ?
C'est ce qui rend le couple (q;r) unique. La division euclidienne consiste à épuiser ce qu'on distribue : tant que le reste est supérieur ou égal au diviseur, on peut encore augmenter le quotient.6 Sans cette condition, 100=7×10+30 et 100=7×14+2 seraient tous deux acceptés.
Comment trouver le quotient et le reste d'un nombre négatif ?
Cherche le plus grand multiple du diviseur qui reste inférieur ou égal au nombre : il donne le quotient, et le reste est la différence. Pour −17 par 5, ce multiple est −20, donc q=−4 et r=3. Le reste n'est jamais négatif.