Divisibilité et division euclidienne : exercices corrigés de Terminale

On cherche le plus grand $q$ tel que $17q \le 1234$. Comme $17\times 70 = 1190$ et que $1234 - 1190 = 44$, on peut encore ajouter deux fois 17 : $17\times 72 = 1224$.

Avec $q = 73$ on aurait $17\times 73 = 1241 > 1234$, donc $q = 72$.

Le reste vaut $r = 1234 - 1224 = 10$.

Vérification : $0 \le 10 < 17$, la condition est respectée.

Relation : $1234 = 17\times 72 + 10$.

Remplir des boîtes pleines, c'est « épuiser » les viennoiseries par paquets de 24 : c'est une division euclidienne de $1000$ par $24$.

On calcule $24\times 40 = 960$, puis $1000 - 960 = 40$, qui contient encore une boîte de plus : $24\times 41 = 984$.

Reste : $1000 - 984 = 16$, et $0 \le 16 < 24$.

Relation : $1000 = 24\times 41 + 16$.

On vérifie d'abord que les données sont possibles : $0 \le 8 < 9$.

On applique la relation : $a = 9\times 14 + 8$.

$9\times 14 = 126$, donc $a = 126 + 8 = 134$.

On cherche $q$ entier tel que $6q \le -47 < 6(q+1)$.

$6\times(-7) = -42$ est supérieur à $-47$, donc $q = -7$ ne convient pas : il donnerait $r = -47 + 42 = -5$, négatif.

$6\times(-8) = -48 \le -47$, donc $q = -8$.

Reste : $r = -47 - (-48) = 1$, et $0 \le 1 < 6$.

Relation : $-47 = 6\times(-8) + 1$.

Posons $q = r$. La relation devient $a = 8q + q = 9q$.

La condition sur le reste impose $0 \le q < 8$, donc $q \in \{0\,;1\,;\dots\,;7\}$.

Le dividende $a = 9q$ est le plus grand quand $q$ est le plus grand, soit $q = 7$.

On obtient $a = 9\times 7 = 63$.

Vérification : $63 = 8\times 7 + 7$ avec $0 \le 7 < 8$.

Posons $d = n - 1$, entier strictement positif puisque $n \ge 2$. On a $n + 11 = d + 12$.

Si $d$ divise $n+11$ et divise $d$, alors $d$ divise la différence $(d+12) - d = 12$.

Réciproquement, si $d$ divise $12$, alors $d$ divise $d + 12$. La condition équivaut donc à : $d$ divise $12$.

Les diviseurs positifs de $12$ sont $1\,;2\,;3\,;4\,;6\,;12$.

Le plus grand est $d = 12$, donc $n = 13$.

Vérification : $n+11 = 24 = 12\times 2$, donc $12$ divise bien $24$.

Par hypothèse, il existe un entier $k$ tel que $a = 15k + 11$.

On décompose : $11 = 10 + 1$, donc $a = 15k + 10 + 1 = 5(3k + 2) + 1$.

Le nombre $3k+2$ est un entier et $0 \le 1 < 5$.

Par unicité du couple quotient-reste, le reste de $a$ dans la division par $5$ est $1$ (et le quotient est $3k+2$).

Test avec $k = 3$ : $a = 56 = 5\times 11 + 1$.

Divisons $n$ par $2$ : il existe $q$ entier tel que $n = 2q$ ou $n = 2q + 1$, car le reste est strictement inférieur à $2$ ⁴.

Cas 1, $n = 2q$ : alors $n(n+1) = 2q(2q+1)$, qui est un multiple de $2$.

Cas 2, $n = 2q+1$ : alors $n + 1 = 2q + 2 = 2(q+1)$, donc $n(n+1) = (2q+1)\times 2(q+1)$, multiple de $2$.

Dans les deux cas, $n(n+1)$ est un multiple de $2$.