Mathématiques expertes (option) · Terminale

Équation du second degré à coefficients réels : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une équation $az^2+bz+c=0$ à coefficients réels ( $a\neq 0$ ) se résout avec le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ ; dans $\mathbb{C}$ , elle a toujours des solutions.²
$\Delta>0$ : deux solutions réelles $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; $\Delta=0$ : une solution double $-\dfrac{b}{2a}$ .
$\Delta<0$ : deux solutions complexes conjuguées $\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .
Dans tous les cas, $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$ , avec $z_1+z_2=-\dfrac{b}{a}$ et $z_1z_2=\dfrac{c}{a}$ .
Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines ; si une racine d'un polynôme de degré 3 est connue, on factorise et on se ramène au second degré.¹

Pourquoi les nombres complexes règlent un vieux problème

Au collège puis en classe de Première, tu as résolu des équations comme $z^2-5z+6=0$ ou $2z^2+z-1=0$ en calculant un discriminant. Quand ce discriminant était négatif, tu concluais : « pas de solution réelle ». Cette phrase reste vraie, mais elle n'est plus la fin de l'histoire. Avec les nombres complexes, que tu viens de découvrir (forme algébrique et conjugué), le même calcul continue jusqu'au bout et donne deux solutions.

Dans ce cours, tu vas voir comment une équation du second degré à coefficients réels se résout dans $\mathbb{C}$ , pourquoi les deux solutions sont alors conjuguées, comment on factorise le trinôme, puis comment on utilise tout cela pour des équations de degré 3 dont une racine est connue. Le programme de mathématiques expertes attend de toi deux savoir-faire : traiter une équation polynomiale de degré 2 dont les coefficients sont réels, puis une équation de degré 3, elle aussi à coefficients réels, lorsqu'on t'en donne une racine.¹

Dans l'ensemble des réels, une telle équation a au maximum deux solutions : ce sont les abscisses des points où la parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$ coupe l'axe des abscisses.² Le nombre de solutions réelles (0, 1 ou 2) dépend du signe du discriminant.² Le cas à zéro solution réelle est celui qui nous intéresse : la parabole ne touche pas l'axe, et pourtant l'équation a des solutions si on accepte de sortir de $\mathbb{R}$ .

Le discriminant et ses trois cas

Le discriminant est un nombre réel, puisque $a$ , $b$ et $c$ le sont. On peut donc toujours parler de son signe, et c'est ce signe qui décide de la forme des solutions.²

Les trois cas selon le signe du discriminant
Signe de Δ	Solutions dans ℂ	Formule
Δ > 0	Deux réelles distinctes	(−b ± √Δ) / (2a)
Δ = 0	Une réelle double	−b / (2a)
Δ < 0	Deux complexes conjuguées	(−b ± i√(−Δ)) / (2a)

Les trois cas selon le signe du discriminant · Résolution de az² + bz + c = 0 avec a, b, c réels et a non nul.

Les deux premiers cas sont ceux que tu connais déjà. Le troisième est nouveau : la seule différence avec le cas $\Delta>0$ est que la racine carrée porte un facteur $i$ . Comme $-\Delta$ est un réel strictement positif dans ce cas, $\sqrt{-\Delta}$ a un sens usuel, et on écrit simplement $i\sqrt{-\Delta}$ . Le carré de ce nombre vaut $i^2\times(-\Delta)=\Delta$ , ce qui en fait bien une racine carrée de $\Delta$ .

Pourquoi la formule fonctionne : forme canonique et démonstration

Il vaut mieux comprendre que mémoriser. La preuve passe par la forme canonique, une transformation que l'on peut faire aussi bien sur les complexes que sur les réels, puisque les calculs utilisés sont les mêmes.²

Démonstration · Démonstration du théorème

Soit $a\neq0$ . On met $a$ en facteur dans $az^2+bz+c$ :

$az^2+bz+c=a\left(z^2+\dfrac{b}{a}z+\dfrac{c}{a}\right).$

On reconnaît le début d'un carré : $z^2+\dfrac{b}{a}z=\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$ . Donc

$az^2+bz+c=a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right].$

L'équation $az^2+bz+c=0$ équivaut (puisque $a\neq 0$ ) à

$\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}.$

Si $\Delta<0$ , posons $\delta=i\sqrt{-\Delta}$ ; alors $\delta^2=\Delta$ . L'équation s'écrit $\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^2$ , soit $\left(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\delta}{2a}\right)\left(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\delta}{2a}\right)=0$ . Un produit de deux nombres complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est, d'où $z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$ .
Si $\Delta=0$ , l'équation devient $\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ , d'où la solution double $-\dfrac{b}{2a}$ .
Si $\Delta>0$ , on procède de même avec $\delta=\sqrt{\Delta}$ .

Dans le cas $\Delta<0$ , les deux solutions sont $\dfrac{-b}{2a}\pm i\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$ . Leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires opposées : elles sont conjuguées. $\square$

La méthode de résolution complète

IdentifierRelever a, b, c réels, avec leurs signes, et a non nul.
DiscriminantCalculer Δ = b² − 4ac.
FormuleChoisir selon le signe de Δ ; si Δ < 0, utiliser i√(−Δ).
ContrôlerVérifier que la somme des solutions vaut −b/a.

Méthode de résolution dans ℂ

Factorisation, somme et produit des racines

C'est exactement la factorisation obtenue dans la démonstration ci-dessus : le produit des deux facteurs du type $z+\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\delta}{2a}$ en est la preuve.² La nouveauté est qu'elle fonctionne toujours dans $\mathbb{C}$ . Un trinôme comme $z^2+2z+5$ , qu'on ne pouvait pas factoriser dans $\mathbb{R}$ , devient $(z+1-2i)(z+1+2i)$ .

Démonstration · Preuve de la somme et du produit

Développons $a(z-z_1)(z-z_2)=a\left[z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2\right]$ . En identifiant avec $az^2+bz+c$ (égalité valable pour tout $z$ ), on obtient $-a(z_1+z_2)=b$ et $a\,z_1z_2=c$ , d'où le résultat. Dans le cas $\Delta<0$ , on peut aussi le vérifier directement : $z_1+z_2=2\times\dfrac{-b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$ et $z_1z_2=\left(\dfrac{-b}{2a}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-\Delta}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$ . $\square$

Racines d'un polynôme : degré et conjugaison

Ce résultat sert à plusieurs choses. D'abord, il t'assure qu'après avoir trouvé trois racines distinctes d'un polynôme de degré 3, tu les as toutes. Ensuite, il justifie la méthode du paragraphe suivant : si tu connais une racine, tu peux factoriser par le facteur correspondant et il reste un polynôme de degré plus petit.

Démonstration · Preuve

Écris $P(z)=a_nz^n+\dots+a_1z+a_0$ avec tous les $a_k$ réels. Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués, celui d'un produit est le produit des conjugués, et un réel est égal à son conjugué. Donc $\overline{P(z_0)}=a_n\overline{z_0}^{\,n}+\dots+a_1\overline{z_0}+a_0=P(\overline{z_0})$ . Si $P(z_0)=0$ , alors $\overline{P(z_0)}=\overline{0}=0$ , donc $P(\overline{z_0})=0$ . $\square$

Équation de degré 3 dont une racine est connue

Une équation cubique est une équation polynomiale de degré 3, de la forme $ax^3+bx^2+cx+d=0$ avec $a$ non nul.³ Il existe des formules générales de résolution, mais elles sont longues et demandent une bonne maîtrise des complexes.² Au programme, on se place dans un cas bien plus simple : une racine est donnée (ou facile à deviner).¹ On s'en sert pour descendre au second degré.

Pour deviner une racine, on essaie traditionnellement les valeurs $0$ , $\pm1$ et $\pm2$ : c'est la méthode des racines évidentes, beaucoup plus rapide que les formules générales.² Si $-2$ est racine, cela signifie que le polynôme $z+2$ divise celui de l'équation.² Le deuxième facteur est alors un polynôme du second degré, car c'est le seul qui, multiplié par un facteur de degré 1, donne un degré 3.²

ExempleUn exemple rédigé

Résoudre $z^3+z^2+3z-5=0$ , sachant que $1$ est racine.

Vérification. $1+1+3-5=0$ .

Factorisation. On cherche $(z-1)(\alpha z^2+\beta z+\gamma)$ . Développé : $\alpha z^3+(\beta-\alpha)z^2+(\gamma-\beta)z-\gamma$ . On identifie avec $z^3+z^2+3z-5$ :

$\alpha=1$ ;
$\beta-\alpha=1$ , donc $\beta=2$ ;
$\gamma-\beta=3$ , donc $\gamma=5$ ;
$-\gamma=-5$ : c'est cohérent, ce qui sert de contrôle.

Ainsi $z^3+z^2+3z-5=(z-1)(z^2+2z+5)$ .

Second degré. $z^2+2z+5=0$ a pour discriminant $-16$ : on a vu que les solutions sont $-1-2i$ et $-1+2i$ .

Conclusion. L'ensemble des solutions est $\{1\ ;\ -1-2i\ ;\ -1+2i\}$ . On y retrouve une racine réelle et une paire de racines conjuguées.

Erreurs fréquentes et réflexes de contrôle

Exercices corrigés

Exercice 1 Résoudre une équation à discriminant négatif

★☆☆Environ 8 min

On considère l'équation $(E)$ : $2z^2-4z+5=0$ d'inconnue complexe $z$ .

Calcule le discriminant $\Delta$ de $(E)$ (donne sa valeur numérique).
Résous $(E)$ dans $\mathbb{C}$ .
Vérifie que les deux solutions sont conjuguées.

Indice 1

Repère bien $a=2$ , $b=-4$ , $c=5$ ; attention au signe de $b$ dans $b^2$ .

Indice 2

Si $\Delta<0$ , écris $\sqrt{-\Delta}$ puis ajoute le facteur $i$ ; simplifie $\sqrt{24}=2\sqrt6$ .

Voir la correction pas à pas

On identifie $a=2$ , $b=-4$ , $c=5$ : les trois sont réels et $a\neq0$ .
On calcule $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times2\times5=16-40=-24$ .
Comme $\Delta<0$ , l'équation n'a pas de solution réelle mais deux solutions complexes conjuguées.
On a $-\Delta=24$ et $\sqrt{24}=2\sqrt6$ ; une racine carrée de $\Delta$ est donc $2i\sqrt6$ .
On applique la formule : $z=\dfrac{4\pm2i\sqrt6}{4}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{2}i$ .
Les deux solutions sont $1-\dfrac{\sqrt6}{2}i$ et $1+\dfrac{\sqrt6}{2}i$ : même partie réelle, parties imaginaires opposées, donc conjuguées.

Le discriminant vaut $-24$ et l'ensemble des solutions est $\left\{1-\dfrac{\sqrt6}{2}i\ ;\ 1+\dfrac{\sqrt6}{2}i\right\}$ . Contrôle : leur somme est $2=-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $1+\dfrac{6}{4}=\dfrac52=\dfrac{c}{a}$ .

Exercice 2 Reconstruire une équation à partir de ses racines

★★☆Environ 8 min

Trouve une équation du second degré à coefficients réels, de la forme $z^2+bz+c=0$ , dont les solutions sont $3+2i$ et $3-2i$ . Résous ensuite cette équation pour vérifier ton résultat.

Indice 1

Calcule la somme et le produit des deux nombres donnés.

Indice 2

Une équation de racines $z_1$ et $z_2$ s'écrit $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule la somme : $(3+2i)+(3-2i)=6$ .
On calcule le produit : $(3+2i)(3-2i)=9-4i^2=9+4=13$ .
Les racines sont celles de $z^2-6z+13=0$ , donc $b=-6$ et $c=13$ .
Vérification : $\Delta=(-6)^2-4\times13=36-52=-16$ et une racine carrée de $\Delta$ est $4i$ .
On obtient $z=\dfrac{6\pm4i}{2}=3\pm2i$ , ce qui redonne bien les deux nombres de départ.

L'équation $z^2-6z+13=0$ a pour solutions $3+2i$ et $3-2i$ . Comme les racines sont conjuguées, la somme et le produit sont automatiquement des nombres réels, ce qui garantit des coefficients réels.

Exercice 3 Équation de degré 3 avec une racine donnée

★★☆Environ 12 min

On considère $P(z)=z^3-3z^2+4z-2$ .

Vérifie que $1$ est racine de $P$ .
Détermine des réels $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ tels que $P(z)=(z-1)(\alpha z^2+\beta z+\gamma)$ pour tout $z$ .
Résous $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$ .

Indice 1

Développe $(z-1)(\alpha z^2+\beta z+\gamma)$ et compare coefficient par coefficient.

Indice 2

Le facteur du second degré trouvé aura un discriminant négatif.

Voir la correction pas à pas

On calcule $P(1)=1-3+4-2=0$ : $1$ est bien racine.
On développe : $(z-1)(\alpha z^2+\beta z+\gamma)=\alpha z^3+(\beta-\alpha)z^2+(\gamma-\beta)z-\gamma$ .
On identifie avec $z^3-3z^2+4z-2$ : $\alpha=1$ , puis $\beta-1=-3$ donc $\beta=-2$ , puis $\gamma+2=4$ donc $\gamma=2$ .
Contrôle : $-\gamma=-2$ , ce qui correspond au terme constant de $P$ .
Ainsi $P(z)=(z-1)(z^2-2z+2)$ .
Pour $z^2-2z+2=0$ : $\Delta=4-8=-4$ , une racine carrée de $\Delta$ est $2i$ , donc $z=\dfrac{2\pm2i}{2}=1\pm i$ .
L'équation $P(z)=0$ a donc trois solutions : $1$ , $1+i$ et $1-i$ .

L'ensemble des solutions est $\{1\ ;\ 1+i\ ;\ 1-i\}$ . Le polynôme étant de degré 3, il ne peut pas en avoir davantage. On retrouve une racine réelle et deux racines conjuguées.

Exercice 4 Équation avec un paramètre

★★★Environ 12 min

Soit $k$ un réel et l'équation $(E_k)$ : $z^2+4z+k=0$ .

Exprime le discriminant de $(E_k)$ en fonction de $k$ .
Pour quelle valeur de $k$ l'équation admet-elle une solution double ? Donne cette valeur de $k$ puis la solution.
Discute, selon les valeurs de $k$ , la nature des solutions (réelles ou non réelles).
Résous $(E_k)$ dans $\mathbb{C}$ pour $k=13$ .

Indice 1

Le discriminant est $\Delta=16-4k$ ; étudie son signe.

Indice 2

Une solution double correspond à $\Delta=0$ .

Voir la correction pas à pas

Ici $a=1$ , $b=4$ , $c=k$ , donc $\Delta=16-4k$ .
Solution double : $\Delta=0$ équivaut à $16-4k=0$ , donc $k=4$ . La solution est alors $-\dfrac{b}{2a}=-2$ .
Si $k<4$ , alors $\Delta>0$ : deux solutions réelles distinctes.
Si $k>4$ , alors $\Delta<0$ : deux solutions complexes non réelles et conjuguées.
Pour $k=13$ : $\Delta=16-52=-36$ et une racine carrée de $\Delta$ est $6i$ .
Les solutions sont $z=\dfrac{-4\pm6i}{2}=-2\pm3i$ .

La valeur $k=4$ donne la solution double $-2$ . Pour $k>4$ les solutions sont non réelles et conjuguées, par exemple $-2+3i$ et $-2-3i$ pour $k=13$ . Leur partie réelle vaut toujours $-2$ , car elle ne dépend que de $a$ et $b$ .

Les questions qu'on se pose

Si le discriminant est négatif, est-ce que l'équation n'a vraiment pas de solution ?

Elle n'a pas de solution réelle, mais elle en a deux dans $\mathbb{C}$ .² Tout dépend de l'ensemble dans lequel on cherche. Si l'énoncé dit « résoudre dans $\mathbb{R}$ », tu écris que l'ensemble des solutions est vide. S'il dit « résoudre dans $\mathbb{C}$ », tu dois donner les deux solutions.

Comment savoir si je dois donner des solutions complexes ou m'arrêter à « pas de solution » ?

Regarde l'ensemble de résolution indiqué dans la question. En mathématiques expertes, l'énoncé demande presque toujours de résoudre dans $\mathbb{C}$ , et un discriminant négatif est alors un cas ordinaire, pas un cul-de-sac. Si l'ensemble n'est pas précisé, résoudre dans $\mathbb{C}$ est le choix le plus complet.

À quoi sert de savoir que les deux solutions sont conjuguées ?

Cela te donne un contrôle immédiat (même partie réelle, parties imaginaires opposées) et un raccourci : une fois la première solution calculée, la deuxième est son conjugué. Cela sert aussi à reconstruire une équation réelle à partir d'une racine non réelle : si $2+3i$ est racine d'un polynôme à coefficients réels, alors $2-3i$ l'est aussi. Attention : ce raccourci exige des coefficients réels.²

Comment trouver une racine d'une équation de degré 3 quand on ne me la donne pas ?

On essaie d'abord les valeurs simples $0$ , $\pm1$ , $\pm2$ : c'est la méthode des racines évidentes, nettement plus rapide que les formules générales.² Tu remplaces chaque valeur dans le polynôme jusqu'à trouver un résultat nul. À l'examen, l'énoncé fournit presque toujours la racine ou une indication pour la trouver, car résoudre une équation de degré 3 dont une racine est connue est le cas attendu au programme.¹

Une équation de degré 3 peut-elle ne pas avoir de solution réelle ?

Si ses coefficients sont réels, non : elle possède au moins une solution réelle.³ Les racines non réelles vont par paires conjuguées, donc sur trois racines, il en reste au moins une réelle. C'est un bon moyen de contrôler un résultat : si tu trouves trois racines non réelles pour un polynôme réel de degré 3, tu t'es trompé quelque part.

Dois-je retenir la formule avec $i\sqrt{-\Delta}$ par cœur ?

Retiens la structure : la partie réelle est $-\dfrac{b}{2a}$ , la partie imaginaire est $\pm\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$ . Si tu as un doute, tu peux la retrouver en écrivant le trinôme sous forme canonique, comme dans la démonstration du cours. Et le contrôle « somme des racines $=-\dfrac{b}{a}$ » te dira vite si tu t'es trompé.

Sources

Mathématiques expertes - Annexe au BO (PDF), eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation cubique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Le discriminant et ses trois cas

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Factorisation, somme et produit des racines

Racines d'un polynôme : degré et conjugaison

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