Mathématiques expertes (option) · Terminale · Nombres complexes

Forme trigonométrique et exponentielle

• Un complexe non nul s'écrit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r=|z|>0$ et $\theta$ un argument : c'est la forme trigonométrique.
• On pose $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ ; alors $z=re^{i\theta}$ est la forme exponentielle, et $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$.
• Produit : modules multipliés, arguments additionnés. Quotient : modules divisés, arguments soustraits. Puissance : $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$.
• Le conjugué de $re^{i\theta}$ est $re^{-i\theta}$ ; l'inverse est $\frac{1}{r}e^{-i\theta}$.