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Mathématiques expertes (option) · Terminale

Équations du second degré à coefficients réels : fiche de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • On résout az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 (a≠0a\neq0, a,b,ca,b,c réels) avec le discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.
  • Δ>0\Delta>0 : deux solutions réelles ; Δ=0\Delta=0 : une solution double ; Δ<0\Delta<0 : deux solutions complexes conjuguées non réelles.
  • Pour Δ<0\Delta<0 : z=−b±i−Δ2az=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.
  • Dans C\mathbb{C}, l'équation a toujours deux solutions (distinctes ou confondues).

Ce que dit le programme

Dans les réels, une équation du second degré a au maximum deux solutions, et leur nombre (0, 1 ou 2) dépend du signe du discriminant 2. Quand le discriminant est négatif, il n'existe aucune solution réelle, car on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif 2. Les nombres complexes comblent ce manque : ils contiennent des nombres dont le carré est négatif, et l'équation y a alors des solutions 2.

La méthode de résolution

Démonstration · Pourquoi la formule marche pour $\Delta<0$

On met l'équation sous forme canonique : a[(z+b2a)2−Δ4a2]=0a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]=0. Si Δ<0\Delta<0, posons δ=i−Δ\delta=i\sqrt{-\Delta} : alors δ2=i2(−Δ)=Δ\delta^2=i^2(-\Delta)=\Delta. Le crochet devient (z+b2a)2−(δ2a)2\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\delta}{2a}\right)^2, produit de (z+b2a−δ2a)\left(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\delta}{2a}\right) et (z+b2a+δ2a)\left(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\delta}{2a}\right). Les solutions sont donc −b±δ2a\dfrac{-b\pm\delta}{2a}.

Un exemple rédigé

Pièges fréquents

Pour aller plus loin

Questions flash

4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Une équation du second degré à coefficients réels a un discriminant Δ<0\Delta<0. Combien a-t-elle de solutions dans R\mathbb{R} ?

  2. Quelles sont les solutions complexes de z2−2z+2=0z^2-2z+2=0 ?

  3. Quand les coefficients sont réels et Δ<0\Delta<0, les deux solutions sont conjuguées.

  4. Quel est le discriminant de z2+2z+5=0z^2+2z+5=0 ?

Les questions qu'on se pose

Pourquoi y a-t-il toujours deux solutions dans les complexes ?

Parce que tout nombre, même négatif, a une racine carrée complexe : Δ\Delta s'écrit toujours δ2\delta^2. On obtient alors deux solutions distinctes, ou une double si Δ=0\Delta=0 2.

Comment savoir si les solutions sont réelles ou non réelles ?

Regarde seulement le signe de Δ\Delta : positif ou nul, solutions réelles ; négatif, solutions complexes conjuguées non réelles 2. Cette règle ne vaut que pour des coefficients réels.

Que faire si l'énoncé donne une racine d'une équation de degré 3 ?

Factorise le polynôme par (z−z0)(z-z_0) : le quotient est de degré 2, que tu résous avec le discriminant 1.

Sources

  1. Mathématiques expertes - Annexe au BO (PDF), eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Équation cubique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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