Équations du second degré à coefficients réels : quiz de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Pour az2+bz+c=0 avec a=0 réels, on calcule Δ=b2−4ac ; son signe décide du type de solutions 2.
Si Δ<0, il n'y a aucune solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées 2a−b±i−Δ2.
Dans C, une équation du second degré a toujours deux racines distinctes ou une racine double 2.
Un polynôme de degré n admet au plus n racines ; avec une racine connue, on factorise puis on résout le quotient 1.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur la résolution des équations du second degré à coefficients réels dans l'ensemble des nombres complexes. Tu y calcules des discriminants, tu écris des solutions sous forme algébrique, tu vérifies qu'elles sont conjuguées, puis tu étends la méthode à une équation de degré 3 dont on connaît une racine. Tu dois déjà maîtriser la forme algébrique d'un nombre complexe et le conjugué.
Quiz
16 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On a z2=−4=(2i)2, donc z=2i ou z=−2i. Les solutions ±2 ne conviennent pas : leur carré vaut 4, pas −4. Écrire ±4i revient à oublier de prendre la racine carrée de 4 : (4i)2=−16. Enfin « aucune solution » n'est vrai que dans R ; dans C l'équation possède des solutions 2.
Ici a=1, b=2, c=5, donc Δ=22−4×1×5=4−20=−16. L'erreur tentante est de trouver 24 en additionnant 4 et 20 : le terme 4ac est soustrait. Comme Δ<0, l'équation n'a pas de solution réelle 2.
On calcule Δ=4−20=−16=(4i)2. Alors z=22±4i=1±2i. La réponse 2±4i oublie de diviser par 2a=2. La réponse 1±4i ne divise que la partie réelle. La réponse −1±2i vient d'une erreur de signe sur −b, qui vaut ici +2.
C'est faux. Un discriminant négatif signifie seulement qu'il n'y a pas de solution réelle, car on ne peut pas prendre la racine carrée d'un réel négatif. Dans C, il existe des nombres dont le carré est négatif, et l'équation admet alors toujours des solutions 2.
C'est vrai : les solutions s'écrivent 2a−b±i−Δ, soit p+iq et p−iq avec p et q réels. Ce sont bien deux conjugués. Cette propriété est propre aux coefficients réels : avec des coefficients complexes, les solutions ne sont en général pas conjuguées 2.
Pour z2+9=0, Δ=−36<0. Pour z2+z+1=0, Δ=1−4=−3<0. Pour z2−9=0, Δ=36>0 : solutions ±3. Pour z2−2z+1=0, Δ=0 : solution double 1, qui est réelle. Le signe de Δ donne directement le nombre de solutions réelles 2.
Les solutions sont 1+2i et 1−2i ; leurs parties imaginaires s'annulent et la somme vaut 2. Une somme de deux conjugués est toujours un réel (le double de leur partie réelle). Répondre 2+4i revient à additionner par erreur 1+2i avec lui-même.
Un polynôme de degré n admet au plus n racines, donc au plus 3 ici 1. La réponse « 2 » confond avec le second degré. « Une infinité » ne vaut que pour le polynôme nul, qui n'a pas de degré. Ce nombre est un maximum : certains polynômes de degré 3 en ont moins, certaines racines pouvant être multiples.
Sur C, une équation du second degré a toujours deux racines distinctes ou une racine double 2. La racine double apparaît quand Δ=0 : la première réponse est donc trop forte. L'absence de racine est possible seulement si on se restreint aux réels.
On a Δ=16−52=−36=(6i)2, donc z=2−4±6i=−2±3i. La factorisation est (z−(−2+3i))(z−(−2−3i))=(z+2−3i)(z+2+3i). La deuxième réponse oublie le signe de −b. La troisième ne divise pas par 2. La quatrième confond 3 avec 32.
Ici Δ=4−8=−4=(2i)2, donc z=2−2±2i=−1±i. Le signe de la partie réelle est celui de −b=−2 avant division. Les réponses −1±2i et −2±2i viennent d'une division par 2a oubliée sur une partie seulement.
Développons (z−1)(z2−2z+2)=z3−2z2+2z−z2+2z−2=z3−3z2+4z−2. C'est bien le polynôme de départ. Si une racine est connue, le polynôme est divisible par z moins cette racine, et le quotient est de degré 2 : on se ramène au second degré 1. Les autres candidats ne redonnent pas le bon coefficient de z ou le bon terme constant.
L'équation devient (z−1)(z2−2z+2)=0. Le facteur z2−2z+2 a pour discriminant 4−8=−4<0, donc pour racines 1+i et 1−i, non réelles. Avec la racine réelle 1, on obtient trois solutions, ce qui respecte le maximum de 3 racines pour un polynôme de degré 31.
C'est faux. Dans le cas général de coefficients complexes, les solutions sont en général deux complexes non conjugués, contrairement au cas réel avec un discriminant strictement négatif 2. Le raisonnement « solutions conjuguées » repose sur le fait que a, b, c sont réels.
On a Δ=36−100=−64=(8i)2, donc z=26±8i=3±4i. La solution demandée est 3+4i, de partie imaginaire 4. La valeur 8 est celle de −Δ avant division par 2a=2. La valeur 3 est la partie réelle.
Les solutions réelles correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses, et leur nombre est donné par le signe du discriminant 2. Pas d'intersection signifie donc Δ<0. Dans C, il y a alors deux solutions conjuguées. La première réponse se trompe de signe et oublie que C offre toujours des solutions ; la troisième correspond à une parabole tangente à l'axe.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le discriminant négatif ne bloque-t-il plus la résolution dans les complexes ?
Dans R, on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Dans C, il existe des nombres dont le carré est négatif, comme i avec i2=−12. Pour Δ<0, on écrit donc Δ sous la forme i−Δ, et la formule habituelle s'applique sans changement.
Comment vérifier rapidement mes solutions complexes ?
Si les coefficients sont réels et Δ<0, les deux solutions doivent être conjuguées : si tu en trouves deux qui ne le sont pas, il y a une erreur. Tu peux aussi les additionner : pour z2−2z+5=0, la somme des solutions 1+2i et 1−2i vaut 2, soit −ab. Enfin, remplace une solution dans l'équation et vérifie que tu obtiens 0.
Que faire avec une équation de degré 3 dans ce chapitre ?
On te donne une racine, ou tu en cherches une évidente parmi 0, 1, −1, 2, −22. Tu factorises ensuite par z moins cette racine, ce qui laisse un quotient de degré 2 que tu résous avec le discriminant 1. Comme un polynôme de degré n a au plus n racines, tu sais que tu ne dois pas en trouver plus de trois 1.