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Équations du second degré dans ℂ : exercices de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a$ , $b$ , $c$ réels et $a\neq 0$ , on calcule d'abord $\Delta=b^2-4ac$ : son signe décide de tout.
Si $\Delta>0$ : deux solutions réelles ; si $\Delta=0$ : une solution double ; si $\Delta<0$ : deux solutions complexes conjuguées $\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .
Une équation de degré 3 dont on connaît une racine se ramène à une équation du second degré par factorisation.
Contrôle final : la somme des solutions vaut $-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\dfrac{c}{a}$ .

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices portent sur la résolution, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, des équations du second degré à coefficients réels. Ils s'appuient sur ce que tu connais déjà : la forme algébrique $a+ib$ d'un nombre complexe et le conjugué. Ils préparent le module, l'argument et la forme trigonométrique, qui arrivent juste après dans le chapitre.

La difficulté augmente peu à peu. Les premiers exercices appliquent la méthode telle quelle ; les derniers demandent de raisonner : chercher un paramètre, retrouver une équation à partir d'une solution, ou ramener une équation de degré 3 au second degré. Cherche chaque exercice sur papier avant d'ouvrir les indices, puis la correction.

Dans l'ensemble des réels, une telle équation a 0, 1 ou 2 solutions, selon le signe du discriminant ². Lorsque le discriminant est négatif, aucune solution réelle n'existe, car on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif ; dans $\mathbb{C}$ , il existe en revanche des nombres dont le carré est négatif, et l'équation admet alors des solutions ². En passant à $\mathbb{C}$ , on obtient donc toujours deux solutions distinctes, ou bien une seule solution comptée deux fois ².

Trois réflexes de contrôle

Avant de passer à la suite, prends l'habitude de contrôler chaque résultat. Un calcul de discriminant s'écrit en une ligne, et c'est précisément là que se glissent les erreurs de signe.

Les exercices

Exercice 1 Un premier discriminant négatif

★☆☆Environ 5 min

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+2z+5=0$ .

Donne ensuite la partie imaginaire de la solution qui a une partie imaginaire positive.

Indice 1

Repère $a=1$ , $b=2$ , $c=5$ puis calcule $b^2-4ac$ .

Indice 2

Le discriminant est négatif : pense à $\sqrt{-\Delta}$ et à placer un $i$ .

Voir la correction pas à pas

On lit $a=1$ , $b=2$ , $c=5$ .
On calcule $\Delta=2^2-4\times 1\times 5=4-20=-16$ .
Comme $\Delta<0$ , il n'y a pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées. On a $\sqrt{-\Delta}=\sqrt{16}=4$ .
On applique la formule : $z_{1,2}=\dfrac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$ .
L'ensemble des solutions est $\{-1+2i\,;\,-1-2i\}$ . La partie imaginaire positive est donc $2$ .
Contrôle : la somme vaut $-2=-\dfrac{b}{a}$ et le produit vaut $(-1)^2+2^2=5=\dfrac{c}{a}$ .

Quand $\Delta=-16$ , la racine « carrée » est $4i$ au numérateur. Les deux solutions sont conjuguées, ce qui est cohérent avec des coefficients réels ².

Exercice 2 Solutions et produit

★☆☆Environ 6 min

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-6z+13=0$ .

Calcule ensuite le produit des deux solutions et compare-le à $\dfrac{c}{a}$ .

Indice 1

Attention au signe de $b$ : ici $b=-6$ , donc $-b=6$ .

Indice 2

Pour le produit de $p+iq$ et $p-iq$ , utilise l'identité $(p+iq)(p-iq)=p^2+q^2$ .

Voir la correction pas à pas

On lit $a=1$ , $b=-6$ , $c=13$ .
On calcule $\Delta=(-6)^2-4\times 1\times 13=36-52=-16$ .
Comme $\Delta<0$ , on a $\sqrt{-\Delta}=4$ et $z_{1,2}=\dfrac{6\pm 4i}{2}=3\pm 2i$ .
L'ensemble des solutions est $\{3+2i\,;\,3-2i\}$ .
Le produit vaut $(3+2i)(3-2i)=9-(2i)^2=9+4=13$ .
On retrouve bien $\dfrac{c}{a}=13$ .

Le produit de deux solutions conjuguées est un réel positif : c'est la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire. Ce résultat reviendra avec le module d'un nombre complexe.

Exercice 3 Reconnaître le signe avant de résoudre

★☆☆Environ 5 min

Soit l'équation $2z^2-3z-2=0$ .

Calcule son discriminant $\Delta$ .
Sans résoudre, dis combien de solutions réelles elle admet.
Résous-la ensuite dans $\mathbb{C}$ .

Indique la valeur de $\Delta$ .

Indice 1

Ici $a=2$ , $b=-3$ , $c=-2$ : le terme $-4ac$ est positif.

Indice 2

Si $\Delta>0$ , les solutions sont réelles : le $i$ n'apparaît pas.

Voir la correction pas à pas

On lit $a=2$ , $b=-3$ , $c=-2$ .
On calcule $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times(-2)=9+16=25$ .
Comme $\Delta>0$ , l'équation admet deux solutions réelles distinctes, qui sont aussi ses solutions dans $\mathbb{C}$ ².
On a $\sqrt{\Delta}=5$ , donc $z_1=\dfrac{3+5}{4}=2$ et $z_2=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}$ .
Contrôle : la somme vaut $\dfrac{3}{2}=-\dfrac{b}{a}$ et le produit vaut $-1=\dfrac{c}{a}$ .

Un discriminant positif donne des solutions réelles, qui restent des solutions complexes. Résoudre dans $\mathbb{C}$ ne change donc rien quand $\Delta\geq 0$ .

Exercice 4 Un résultat avec une racine carrée

★★☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+z+1=0$ .

Donne la valeur décimale de la partie imaginaire de la solution dont la partie imaginaire est positive (arrondie au millionième).

Indice 1

Ici $a=b=c=1$ . Calcule $\Delta$ : tu obtiens un entier négatif qui n'est pas un carré parfait.

Indice 2

Laisse $\sqrt{3}$ sous forme exacte dans l'écriture des solutions, puis approche seulement à la fin.

Voir la correction pas à pas

On lit $a=1$ , $b=1$ , $c=1$ .
On calcule $\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3$ .
Comme $\Delta<0$ , on a $\sqrt{-\Delta}=\sqrt{3}$ . Les solutions sont $z_{1,2}=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$ .
On sépare partie réelle et partie imaginaire : $z_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$ et $z_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i$ .
La partie imaginaire positive est $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866025$ .
Contrôle : la somme vaut $-1=-\dfrac{b}{a}$ et le produit vaut $\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1=\dfrac{c}{a}$ .

Un discriminant négatif qui n'est pas l'opposé d'un carré parfait donne une partie imaginaire irrationnelle. On garde la forme exacte aussi longtemps que possible.

Exercice 5 Étudier selon un paramètre

★★☆Environ 10 min

Soit $m$ un nombre réel. On considère l'équation $(E_m)\ :\ z^2+4z+m=0$ .

Exprime le discriminant en fonction de $m$ .
Détermine, selon les valeurs de $m$ , la nature des solutions (réelles distinctes, double, non réelles).

Donne la valeur de $m$ pour laquelle l'équation passe de deux solutions réelles à deux solutions non réelles.

Indice 1

Le discriminant dépend de $m$ : écris-le puis étudie son signe avec une inéquation du premier degré.

Indice 2

Le cas limite correspond à $\Delta=0$ .

Voir la correction pas à pas

On lit $a=1$ , $b=4$ , $c=m$ , donc $\Delta=4^2-4m=16-4m$ .
On étudie le signe : $\Delta>0\iff 16>4m\iff m<4$ .
Si $m<4$ , il y a deux solutions réelles distinctes $-2\pm\sqrt{4-m}$ .
Si $m=4$ , $\Delta=0$ et la solution double est $-\dfrac{b}{2a}=-2$ .
Si $m>4$ , $\Delta<0$ et les solutions sont conjuguées : $-2\pm i\sqrt{m-4}$ .
La valeur de basculement est donc $m=4$ .

Le signe du discriminant fixe le nombre de solutions réelles (0, 1 ou 2) ². Le cas $\Delta=0$ est la frontière entre les deux situations.

Exercice 6 Un coefficient dominant différent de 1

★★☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z^2+2z+5=0$ .

Donne la partie réelle des solutions.

Indice 1

Attention : le dénominateur est $2a=4$ et non $2$ .

Indice 2

Après avoir trouvé $\Delta$ , simplifie la fraction partie réelle et la fraction partie imaginaire séparément.

Voir la correction pas à pas

On lit $a=2$ , $b=2$ , $c=5$ .
On calcule $\Delta=2^2-4\times 2\times 5=4-40=-36$ .
Comme $\Delta<0$ , on a $\sqrt{-\Delta}=6$ et $z_{1,2}=\dfrac{-2\pm 6i}{4}$ .
On divise chaque terme par $4$ : $z_{1,2}=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{3}{2}\,i$ .
La partie réelle commune aux deux solutions est $-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$ .
Contrôle : la somme vaut $-1=-\dfrac{b}{a}$ et le produit vaut $\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{5}{2}=\dfrac{c}{a}$ .

La partie réelle de deux solutions conjuguées est toujours $-\dfrac{b}{2a}$ , ici $-\dfrac{2}{4}$ . Tu peux la lire directement sans calculer $\Delta$ si seule la partie réelle t'intéresse.

Exercice 7 Équation cubique à racine connue

★★★Environ 15 min

On considère l'équation $(E)\ :\ z^3-3z^2+4z-2=0$ .

Vérifie que $1$ est solution de $(E)$ .
Détermine des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout complexe $z$ , $z^3-3z^2+4z-2=(z-1)(z^2+\alpha z+\beta)$ .
Résous $(E)$ dans $\mathbb{C}$ .

Calcule la somme des trois solutions.

Indice 1

Développe $(z-1)(z^2+\alpha z+\beta)$ puis identifie les coefficients de $z^2$ , de $z$ et le terme constant.

Indice 2

Une fois le facteur du second degré trouvé, applique la méthode du discriminant.

Voir la correction pas à pas

On calcule $1^3-3\times 1^2+4\times 1-2=1-3+4-2=0$ : le nombre $1$ est bien solution.
On développe : $(z-1)(z^2+\alpha z+\beta)=z^3+(\alpha-1)z^2+(\beta-\alpha)z-\beta$ .
On identifie : $\alpha-1=-3$ donne $\alpha=-2$ ; $\beta-\alpha=4$ donne $\beta=2$ ; enfin $-\beta=-2$ est cohérent.
L'équation s'écrit donc $(z-1)(z^2-2z+2)=0$ : un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est.
Pour $z^2-2z+2=0$ : $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 2=-4$ , donc $z=\dfrac{2\pm 2i}{2}=1\pm i$ .
L'ensemble des solutions est $\{1\,;\,1+i\,;\,1-i\}$ et leur somme vaut $1+(1+i)+(1-i)=3$ , soit $-\dfrac{b}{a}$ pour l'équation de degré 3.

Résoudre une équation de degré 3 dont on connaît une racine est une compétence du programme ¹. La racine « évidente » se cherche en essayant des petites valeurs comme $0$ , $\pm 1$ , $\pm 2$ ². Ici, on trouve bien trois solutions, ce qui est le maximum pour un polynôme de degré 3 ¹.

Exercice 8 Retrouver l'équation à partir d'une solution

★★★Environ 12 min

Soient $b$ et $c$ deux réels. On sait que $2-3i$ est solution de l'équation $z^2+bz+c=0$ .

Justifie que $2+3i$ est aussi solution.
En déduire $b$ et $c$ .
Vérifie en résolvant l'équation obtenue.

Donne la valeur de $c$ .

Indice 1

Les coefficients sont réels et $2-3i$ n'est pas réel : que peut-on dire de la seconde solution ?

Indice 2

Utilise la somme et le produit des solutions : $z_1+z_2=-b$ et $z_1z_2=c$ (car $a=1$ ).

Voir la correction pas à pas

Les coefficients sont réels. Si l'équation avait deux solutions réelles, aucune ne serait égale à $2-3i$ ; donc $\Delta<0$ et les deux solutions sont conjuguées ².
La seconde solution est donc $\overline{2-3i}=2+3i$ .
La somme des solutions vaut $(2-3i)+(2+3i)=4$ , d'où $-b=4$ et $b=-4$ .
Le produit vaut $(2-3i)(2+3i)=4+9=13$ , d'où $c=13$ .
L'équation est $z^2-4z+13=0$ .
Vérification : $\Delta=16-52=-36$ , donc $z=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$ . On retrouve les deux solutions annoncées.

Cette méthode évite tout calcul de discriminant : deux solutions conjuguées $p\pm iq$ correspondent à l'équation $z^2-2pz+(p^2+q^2)=0$ . Elle ne vaut que pour des coefficients réels ; avec des coefficients complexes, les solutions ne sont en général pas conjuguées ².

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois donner des solutions réelles ou complexes ?

Regarde l'ensemble demandé dans l'énoncé. Si on te demande de résoudre dans $\mathbb{R}$ et que $\Delta<0$ , la réponse est « aucune solution réelle ». Si on te demande de résoudre dans $\mathbb{C}$ , tu donnes toujours des solutions : deux solutions distinctes ou une solution double ². En Mathématiques expertes, l'énoncé précise presque toujours $\mathbb{C}$ .

Que faire si je tombe sur $\Delta=0$ dans $\mathbb{C}$ ?

Il n'y a qu'une seule solution, appelée solution double : $z_0=-\dfrac{b}{2a}$ , qui est un nombre réel. Elle compte pour deux racines dans la factorisation $a(z-z_0)^2$ , ce qui est cohérent avec le fait qu'une équation du second degré a deux racines distinctes ou une racine double dans $\mathbb{C}$ ².

Les deux solutions sont-elles toujours conjuguées ?

Seulement si les coefficients sont réels et que $\Delta<0$ ². Si $\Delta\geq 0$ , les solutions sont réelles, donc égales à leur propre conjugué ou seulement distinctes sans lien de conjugaison. Si les coefficients sont complexes non réels, les solutions ne sont en général pas conjuguées ². Ne te sers donc de cette propriété que pour une équation à coefficients réels.

Sources

Mathématiques expertes - Annexe au BO (PDF), eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation du second degré, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Équation cubique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 4 Un résultat avec une racine carrée

Exercice 5 Étudier selon un paramètre

Exercice 6 Un coefficient dominant différent de 1

Exercice 7 Équation cubique à racine connue

Exercice 8 Retrouver l'équation à partir d'une solution

Les questions qu'on se pose

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