Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Tout nombre complexe s'écrit de façon unique z=a+ib avec a et b réels : a=Re(z), b=Im(z).
Le conjugué de z=a+ib est z=a−ib : c'est le symétrique de z par rapport à l'axe des réels.
zz=a2+b2 est un réel positif : c'est la clé pour écrire un quotient sous forme algébrique.
Le conjugué respecte somme, produit, quotient et puissance ; z est réel si et seulement si z=z, imaginaire pur si et seulement si z=−z.
Pour résoudre une équation en z et z, on pose z=x+iy et on identifie parties réelle et imaginaire.
Pourquoi étudier la forme algébrique et le conjugué
Dans ce chapitre de l'option Mathématiques expertes, tu travailles sur les nombres complexes. Deux outils servent presque partout ensuite : la forme algébrique, qui permet de calculer comme avec des expressions littérales, et le conjugué, qui permet de faire disparaître un nombre complexe d'un dénominateur et de caractériser les réels et les imaginaires purs.
Selon le programme, résoudre des équations polynomiales a longtemps occupé la place centrale en algèbre 1. Les nombres complexes répondent à ce besoin : donner un sens à des équations qui n'ont pas de solution réelle. La forme algébrique est le point de départ ; le programme demande ensuite de savoir convertir cette écriture en forme trigonométrique 1. Cette conversion se visualise graphiquement dans le plan 2. Elle sera l'objet des chapitres suivants, mais elle repose entièrement sur ce que tu maîtrises ici.
Dans cette page, tu vas :
écrire un nombre complexe sous forme algébrique et repérer ses parties réelle et imaginaire ;
effectuer sommes, produits, inverses et quotients ;
définir le conjugué et démontrer ses propriétés ;
utiliser le conjugué pour caractériser les réels, les imaginaires purs et résoudre des équations.
Tu connais déjà le nombre i tel que i2=−1, et le fait que les règles de calcul habituelles (distributivité, identités remarquables) restent valables pour les complexes.
La forme algébrique d'un nombre complexe
Démonstration · Démonstration de l'unicité
Supposons a+ib=a′+ib′. Alors i(b−b′)=a′−a.
Si b=b′, on peut diviser par b−b′ et on obtient i=b−b′a′−a, qui est un nombre réel. Or i2=−1 est négatif, alors que le carré d'un réel est toujours positif ou nul. C'est impossible.
Donc b=b′. L'égalité devient alors 0=a′−a, soit a=a′.
Calculer avec les formes algébriques
Les calculs se font comme avec des expressions littérales en i, en remplaçant chaque i2 par −1. Voici les formules générales pour z=a+ib et z′=a′+ib′.
Le cas délicat est celui du quotient : on ne sait pas, a priori, écrire a+ib1 sous la forme x+iy. Le conjugué, défini dans la section suivante, résout précisément ce problème.
Le conjugué d'un nombre complexe
Démonstration · Démonstration des propriétés de base
z=a−ib, donc z=a−i(−b)=a+ib=z.
z+z=(a+ib)+(a−ib)=2a.
z−z=(a+ib)−(a−ib)=2ib.
zz=(a+ib)(a−ib)=a2−(ib)2=a2−i2b2=a2+b2. Comme a2⩾0 et b2⩾0, la somme est positive ou nulle ; elle est nulle seulement si a=b=0.
Conjugué et opérations
Démonstration · Démonstration pour la somme et le produit
Posons z=a+ib et z′=a′+ib′.
Somme.z+z′=(a+a′)+i(b+b′), donc z+z′=(a+a′)−i(b+b′)=(a−ib)+(a′−ib′)=z+z′.
Produit.zz′=(aa′−bb′)+i(ab′+a′b), donc zz′=(aa′−bb′)−i(ab′+a′b).
D'autre part, zz′=(a−ib)(a′−ib′)=aa′−iab′−ia′b+i2bb′=(aa′−bb′)−i(ab′+a′b).
Les deux résultats coïncident.
Puissance. On en déduit zn=zn en appliquant la propriété du produit autant de fois que nécessaire.
Démonstration · Démonstration pour l'inverse et le quotient
Soit z=0. On a z×z1=1. En conjuguant les deux membres et en utilisant la propriété du produit, z×(z1)=1=1. Comme z=0 (car zz>0 donc z ne peut pas être nul), on obtient (z1)=z1.
Pour le quotient, on écrit z′z=z×z′1 et on applique les deux résultats précédents.
Quotient et inverse sous forme algébrique
Caractériser réels et imaginaires purs avec le conjugué
Démonstration · Démonstration
Posons z=a+ib. On a z=z si et seulement si a−ib=a+ib, soit −ib=ib, soit 2ib=0, soit b=0 : z est réel.
De même, z=−z si et seulement si a−ib=−a−ib, soit 2a=0, soit a=0 : z est imaginaire pur.
Résoudre des équations avec z et son conjugué
Erreurs fréquentes et bilan méthodologique
Exercices corrigés
Exercice 1 Quotient sous forme algébrique
★☆☆Environ 8 min
Écris le nombre z=1−i3+2i sous forme algébrique, puis donne sa partie imaginaire.
Indice 1
Multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de 1−i.
Indice 2
Au dénominateur, utilise (a+ib)(a−ib)=a2+b2.
Voir la correction pas à pas
Le conjugué du dénominateur 1−i est 1+i. On multiplie le haut et le bas par 1+i : z=(1−i)(1+i)(3+2i)(1+i).
Dénominateur : (1−i)(1+i)=12+12=2.
Numérateur : (3+2i)(1+i)=3+3i+2i+2i2=3+5i−2=1+5i.
On obtient z=21+5i=21+25i.
La partie imaginaire est le réel 25=2,5.
La partie imaginaire de z est 2,5 ; on écrit z=21+25i.
Exercice 2 Équation avec z et son conjugué
★★☆Environ 10 min
Résous dans C l'équation z+2z=6−3i. On note z=a+ib la solution. Donne a×b.
Indice 1
Pose z=a+ib et écris z=a−ib.
Indice 2
Une égalité entre complexes donne une égalité des parties réelles et une égalité des parties imaginaires.
Voir la correction pas à pas
On pose z=a+ib avec a,b réels, donc z=a−ib.
On calcule z+2z=a+ib+2a−2ib=3a−ib.
L'équation devient 3a−ib=6−3i.
Par unicité de la forme algébrique : 3a=6 donc a=2, et −b=−3 donc b=3.
La solution est z=2+3i ; le produit demandé vaut a×b=2×3=6.
Vérification : 2+3i+2(2−3i)=6−3i, ce qui est bien le second membre.
La seule solution est z=2+3i, et a×b=6.
Exercice 3 Une puissance et un conjugué
★★☆Environ 10 min
Soit z=2−i. Calcule z3 sous forme algébrique et donne la partie imaginaire de z3. Vérifie ensuite que z3=(z)3.
Indice 1
Calcule d'abord z2 avec l'identité remarquable, puis multiplie par z.
Indice 2
Pour la vérification, calcule (2+i)3 de la même manière.
Voir la correction pas à pas
z2=(2−i)2=4−4i+i2=3−4i.
z3=z2×z=(3−4i)(2−i)=6−3i−8i+4i2=6−11i−4=2−11i.
La partie imaginaire de z3 est −11.
Pour la vérification : z3=2+11i.
D'autre part z=2+i, (2+i)2=3+4i et (3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i2=2+11i.
Les deux résultats sont égaux : la propriété z3=(z)3 est vérifiée sur cet exemple.
On a z3=2−11i, donc Im(z3)=−11, et la compatibilité du conjugué avec les puissances est confirmée.
Exercice 4 Un nombre est-il réel ?
★★★Environ 15 min
Soit z un nombre complexe quelconque. On pose w=(z+i)(z−i).
Montre que w=zz+i(z−z)+1.
En déduire que w est un nombre réel.
Exprime w en fonction de x=Re(z) et y=Im(z).
Indice 1
Développe le produit en gardant z et z comme des lettres, sans repasser par la forme algébrique.
Indice 2
Pour montrer qu'un nombre est réel, montre qu'il est égal à son conjugué, ou utilise z−z=−2iy.
Voir la correction pas à pas
Développement : (z+i)(z−i)=zz−iz+iz−i2=zz+i(z−z)+1.
On pose z=x+iy. Alors z−z=−2iy, donc i(z−z)=i×(−2iy)=−2i2y=2y.
Par ailleurs zz=x2+y2.
Ainsi w=x2+y2+2y+1, qui est un réel : c'est une expression de x et y réels uniquement.
On peut aussi le voir par conjugaison : w=(z−i)(z+i)=w, donc w est réel.
On peut même écrire w=x2+(y+1)2, qui est positif ou nul.
Pour tout complexe z, w=x2+y2+2y+1=x2+(y+1)2 est un réel positif ou nul.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le conjugué change seulement le signe de la partie imaginaire : 3−5i=3+5i. La réponse −3+5i est l'opposé de z : elle change les deux signes, ce qui est l'erreur tentante. La réponse −3−5i change uniquement la partie réelle, et 5−3i échange les parties.
Ce produit est zz=a2+b2=4+9=13. Si tu trouves 4−9=−5, tu as oublié que i2=−1 : le terme −(3i)2 vaut +9, pas −9.
C'est faux. On a iz=i×z=−iz, car le conjugué de i est −i. L'erreur tentante consiste à traiter i comme un réel qu'on peut sortir du conjugué sans le modifier.
z+z=2a et zz=a2+b2 sont réels. Pour i(z−z), on a z−z=2ib, donc i×2ib=−2b, réel. En revanche z−z=2ib est un imaginaire pur, réel seulement si b=0 ; cocher cette case est l'erreur courante.
On multiplie par le conjugué : (1+i)(1−i)1−i=21−i. La réponse 1−i oublie de diviser par a2+b2=2. La réponse 21+i ne change pas le signe de la partie imaginaire : (1+i)×21+i=i, et non 1. La réponse 1+i est faux aussi : son produit avec 1+i vaut 2i, pas 1.
On calcule (2−i)(2+i)(1+2i)(2+i)=52+i+4i+2i2=55i=i. La partie imaginaire est donc 1 (et non i, puisque la partie imaginaire est un réel). Le quotient est un imaginaire pur.
Avec z=a+ib, z=−z donne a−ib=−a−ib, donc a=0 : z est imaginaire pur (éventuellement nul). La condition z=z caractérise les réels, ce qui est la confusion fréquente. La réponse « z=0 uniquement » est trop restrictive : z=3i convient.
Les questions qu'on se pose
À quoi sert le conjugué en pratique ?
Il sert à trois choses principales : écrire un quotient sous forme algébrique (le produit zz est un réel), caractériser les réels et les imaginaires purs par z=z ou z=−z, et résoudre des équations contenant à la fois z et z. Il prépare aussi la notion de module, puis la conversion vers la forme trigonométrique prévue au programme 1.
Pourquoi la partie imaginaire de $3+5i$ est-elle $5$ et non $5i$ ?
Par définition, dans z=a+ib, on appelle partie imaginaire le réelb qui multiplie i. Cela permet d'identifier deux nombres complexes en comparant deux réels. Si on gardait 5i, on ne pourrait plus appliquer l'unicité de la forme algébrique de façon propre.
Comment savoir si je dois multiplier par le conjugué ?
Dès qu'un nombre complexe apparaît au dénominateur d'un quotient, multiplie le haut et le bas par le conjugué de ce dénominateur. Si le dénominateur est réel, tu divises simplement chaque partie du numérateur. Si c'est un produit ou une somme avec i, le conjugué est ton outil.
Le conjugué du produit est-il le produit des conjugués ?
Oui : zz′=zz′, et de même pour la somme, la puissance, l'inverse et le quotient. C'est très utile pour conjuguer une expression compliquée sans la développer. Seule précaution : le conjugué d'un facteur complexe change aussi, par exemple iz=−iz.
Un nombre peut-il être à la fois réel et imaginaire pur ?
Oui, mais un seul nombre : 0. Un réel a une partie imaginaire nulle, un imaginaire pur a une partie réelle nulle. Si les deux sont nulles, le nombre est 0. Pour tout autre complexe, au moins une des deux parties est non nulle.