Mathématiques expertes (option) · Terminale
Forme algébrique et conjugué : quiz de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Un nombre complexe s'écrit avec et réels ; est la partie réelle, la partie imaginaire.
- Le conjugué de est : on change seulement le signe de la partie imaginaire.
- est un réel positif ou nul ; c'est la clé pour écrire un quotient sous forme algébrique.
- est réel si et seulement si ; le conjugué respecte somme, produit et quotient.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur deux outils de base du chapitre sur les nombres complexes : la forme algébrique et le conjugué. Le programme de Mathématiques expertes demande ensuite de savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique 1, et ce passage suppose que tu manipules sans hésiter les parties réelle et imaginaire. C'est ce que tu entraînes ici.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Le conjugué garde la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire : . La réponse change le signe de la partie réelle, ce qui n'est pas le conjugué ; est l'opposé de ; échange les deux parties, ce qui n'a aucun rapport avec le conjugué.
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On développe : . La partie imaginaire est donc . L'erreur tentante est de garder comme au lieu de , ce qui donne une partie réelle fausse de ; et de répondre au lieu de : la partie imaginaire est un réel.
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Avec , on a , somme de deux carrés de réels, donc réelle et positive ou nulle. On pourrait croire que le produit reste complexe parce que l'est ; en réalité les termes en se compensent : .
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Le produit d'un nombre par son conjugué donne : ici . En développant, . Les réponses et viennent d'une erreur de signe : vaut et non . La réponse confond avec le carré mal développé.
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On multiplie par le conjugué du dénominateur : . La partie réelle est . L'erreur tentante est de croire que l'inverse de est , en oubliant de diviser par le dénominateur .
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est la définition. convient. convient aussi. En revanche est l'opposé du conjugué : on a changé le signe de la partie réelle au lieu de celui de la partie imaginaire.
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Si et , alors et son conjugué est , ce qui vaut . Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués. Ce n'est pas une propriété réservée au produit : elle vaut aussi pour la somme.
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Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués : . Garder sans le conjuguer donne un résultat qui n'est pas le conjugué du produit. Le signe n'a aucune raison d'apparaître. Et la somme des conjugués est le conjugué de la somme, pas du produit.
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Si , l'égalité donne , donc : est réel. La condition donne au contraire , soit : est imaginaire pur ou nul. La condition décrit seulement un module égal à 1, ce qui n'impose pas (par exemple ).
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On multiplie en haut et en bas par : . La partie imaginaire est . Une erreur fréquente est de multiplier par (le dénominateur lui-même) : le dénominateur devient alors , toujours non réel.
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On développe d'abord : . Le conjugué est donc . Répondre , c'est oublier de conjuguer une fois le développement fait ; les réponses avec viennent d'un mauvais signe sur .
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, donc . La différence donne , d'où : sans le au dénominateur, on obtiendrait et non . Les deux autres propositions échangent somme et différence.
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On pose : . En identifiant, donc , et donc : . Répondre revient à lire le signe de comme celui de ; répondre oublie le coefficient devant .
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. L'erreur tentante est d'écrire : cela revient à calculer , où le est resté dans le carré. Or : on utilise , une somme de deux carrés de réels, donc toujours positive ou nulle.
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On a . Le conjugué de est . Répondre revient à oublier de conjuguer après avoir calculé la puissance. Les réponses et correspondent à et , d'autres puissances.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi multiplie-t-on par le conjugué pour diviser deux nombres complexes ?
Parce que est un réel. Multiplier le numérateur et le dénominateur par ne change pas la valeur du quotient, mais rend le dénominateur réel : on peut alors séparer partie réelle et partie imaginaire pour obtenir la forme algébrique .
Quelle différence entre la partie imaginaire $b$ et le nombre $ib$ ?
La partie imaginaire de est le réel , sans le . Le nombre est un imaginaire pur. Par exemple, pour , on a et non . Cette confusion est la plus fréquente dans les identifications d'équations : on égalise des réels avec des réels.
Sources
- Mathématiques expertes - Programme complet (PDF), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
- Édubase - Nombres complexes, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Élément conjugué, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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