Mathématiques expertes (option) · Terminale

Forme algébrique et conjugué : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un nombre complexe s'écrit $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels ; on l'identifie par sa partie réelle $a$ et sa partie imaginaire $b$ .
Le conjugué de $z = a + ib$ est $\overline{z} = a - ib$ ; le produit $z\,\overline{z} = a^2 + b^2$ est un réel positif.
Pour diviser par un complexe, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Pour une équation en $z$ et $\overline{z}$ , on pose $z = a + ib$ , on identifie parties réelles et imaginaires, puis on résout un système de réels.
Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

Comment utiliser ces exercices

Le programme de mathématiques expertes prévoit que tu saches convertir l'écriture $a + ib$ d'un nombre complexe en son écriture trigonométrique ¹. Pour y arriver sans erreur, il faut d'abord être très à l'aise avec l'écriture $a + ib$ et avec le conjugué. C'est exactement ce que tu travailles ici.

Les exercices sont rangés par difficulté croissante. Le niveau 1 vérifie les gestes de base, le niveau 2 demande d'enchaîner plusieurs calculs, le niveau 3 mélange les techniques et réclame de la rigueur. Procède toujours de la même façon : cherche d'abord seul, avec papier et stylo, pendant plusieurs minutes. Si tu bloques, ouvre un indice, un seul à la fois, et reprends ta recherche. Ne regarde la correction qu'à la fin, pour comparer ta rédaction à la sienne, pas pour la recopier.

Un exercice raté n'est pas perdu : refais-le quelques jours plus tard sans regarder la correction. C'est la deuxième tentative qui fixe vraiment la méthode.

Rappels de cours à connaître avant de chercher

Avant de te lancer, vérifie que tu maîtrises les quelques résultats qui reviennent dans presque tous les calculs. Ils sont courts, mais ce sont eux qui font gagner du temps.

Démonstration · Pourquoi le conjugué d'un produit est le produit des conjugués

Posons $z = a + ib$ et $z' = c + id$ . Alors $z\,z' = (ac - bd) + i(ad + bc)$ , donc $\overline{z\,z'} = (ac - bd) - i(ad + bc)$ .

D'autre part, $\overline{z}\;\overline{z'} = (a - ib)(c - id) = ac - iad - ibc + i^2 bd = (ac - bd) - i(ad + bc)$ .

Les deux expressions sont identiques, donc $\overline{z\,z'} = \overline{z}\;\overline{z'}$ .

Comment contrôler tes résultats

Prends l'habitude de poser une ligne de contrôle à la fin de chaque exercice. Les erreurs de signe sont les plus nombreuses dans ce chapitre, et la vérification est le seul moyen fiable de les repérer avant le rendu de ta copie.

Les exercices

Exercice 1 Somme avec un conjugué

★☆☆Environ 4 min

On pose $z_1 = 3 - 4i$ et $z_2 = -2 + 5i$ .

Écris $\overline{z_1}$ .
Calcule $\overline{z_1} + z_2$ sous forme algébrique.
Donne la partie imaginaire de $\overline{z_1} + z_2$ .

Indice 1

Le conjugué change le signe de la partie imaginaire seulement.

Indice 2

Additionne séparément les parties réelles puis les parties imaginaires.

Voir la correction pas à pas

On conjugue : $\overline{z_1} = 3 + 4i$ , car on change le signe de la partie imaginaire.
On additionne : $\overline{z_1} + z_2 = (3 + 4i) + (-2 + 5i)$ .
Parties réelles : $3 + (-2) = 1$ . Parties imaginaires : $4 + 5 = 9$ .
Donc $\overline{z_1} + z_2 = 1 + 9i$ , et sa partie imaginaire est $9$ .

La somme se fait terme à terme. Le piège classique serait de conjuguer $z_2$ au lieu de $z_1$ : lis bien quel nombre porte la barre.

Exercice 2 Un produit à développer

★☆☆Environ 5 min

Calcule $(2 + 3i)(4 - i)$ et donne le résultat sous forme algébrique. Quelle est sa partie réelle ?

Indice 1

Développe avec la double distributivité, comme $(a+b)(c+d)$ .

Indice 2

N'oublie pas de remplacer $i^2$ par $-1$ avant de regrouper.

Voir la correction pas à pas

On développe : $(2+3i)(4-i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2$ .
On remplace $i^2$ par $-1$ : $-3i^2 = +3$ .
On regroupe : parties réelles $8 + 3 = 11$ ; parties imaginaires $-2i + 12i = 10i$ .
Le résultat est $11 + 10i$ ; la partie réelle est $11$ .

Le signe de $-3i^2$ est l'erreur la plus courante : $-3 \times (-1) = +3$ .

Exercice 3 Inverse d'un complexe

★★☆Environ 6 min

Écris $\dfrac{1}{3+4i}$ sous forme algébrique. Quelle est sa partie imaginaire ?

Indice 1

Quel nombre faut-il multiplier à $3 + 4i$ pour obtenir un réel ?

Indice 2

Multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

Voir la correction pas à pas

Le conjugué du dénominateur est $3 - 4i$ . On multiplie le haut et le bas par ce nombre.
Numérateur : $1 \times (3 - 4i) = 3 - 4i$ .
Dénominateur : $(3+4i)(3-4i) = 3^2 + 4^2 = 25$ .
Donc $\dfrac{1}{3+4i} = \dfrac{3 - 4i}{25} = \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}i$ .
La partie imaginaire est $-\dfrac{4}{25} = -0{,}16$ .

Le dénominateur est devenu $a^2 + b^2$ , un réel : c'est le but de la manœuvre. Vérification rapide : $(3+4i)\left(\dfrac{3-4i}{25}\right) = \dfrac{25}{25} = 1$ .

Exercice 4 Un quotient complet

★★☆Environ 8 min

Écris $\dfrac{5+i}{2-3i}$ sous forme algébrique. Quelle est sa partie imaginaire (valeur décimale arrondie à $10^{-4}$ ) ?

Indice 1

Le conjugué de $2 - 3i$ est $2 + 3i$ .

Indice 2

Le dénominateur vaut $2^2 + 3^2$ une fois multiplié par le conjugué.

Voir la correction pas à pas

On multiplie le haut et le bas par $2 + 3i$ : $\dfrac{(5+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}$ .
Numérateur : $10 + 15i + 2i + 3i^2 = 10 + 17i - 3 = 7 + 17i$ .
Dénominateur : $2^2 + 3^2 = 13$ .
Donc $\dfrac{5+i}{2-3i} = \dfrac{7}{13} + \dfrac{17}{13}i$ .
La partie imaginaire est $\dfrac{17}{13} \approx 1{,}3077$ .

Garde la fraction exacte $\dfrac{17}{13}$ dans ta copie ; la valeur décimale n'est qu'une approximation. Vérification : $(2-3i)\left(\dfrac{7}{13} + \dfrac{17}{13}i\right) = \dfrac{14 + 34i - 21i + 51}{13} = \dfrac{65 + 13i}{13} = 5 + i$ .

Exercice 5 Une équation avec $z$ et $\overline{z}$

★★☆Environ 8 min

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z + 2\overline{z} = 6 - 3i$ . On note $z = a + ib$ la solution ; calcule $a + b$ .

Indice 1

Pose $z = a + ib$ et écris $\overline{z}$ en fonction de $a$ et $b$ .

Indice 2

Deux complexes sont égaux quand leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.

Voir la correction pas à pas

On pose $z = a + ib$ , donc $\overline{z} = a - ib$ .
On remplace : $a + ib + 2(a - ib) = 3a - ib$ .
L'équation devient $3a - ib = 6 - 3i$ .
On identifie : partie réelle $3a = 6$ , donc $a = 2$ ; partie imaginaire $-b = -3$ , donc $b = 3$ .
La solution est $z = 2 + 3i$ , et $a + b = 5$ .
Vérification : $2 + 3i + 2(2 - 3i) = 6 - 3i$ . Correct.

Une équation complexe se ramène toujours à deux équations réelles. Cette méthode marche pour toute équation mêlant $z$ et $\overline{z}$ .

Exercice 6 Produit d'un complexe par son conjugué

★★☆Environ 4 min

Soit $z = 7 - 24i$ . Calcule $z\,\overline{z}$ .

Indice 1

Écris d'abord $\overline{z}$ .

Indice 2

Utilise l'identité $(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2$ , ou développe directement.

Voir la correction pas à pas

On a $\overline{z} = 7 + 24i$ .
On développe : $(7 - 24i)(7 + 24i) = 49 + 168i - 168i - 576i^2$ .
Les termes en $i$ s'annulent et $-576i^2 = +576$ .
Donc $z\,\overline{z} = 49 + 576 = 625$ .

Le résultat est un réel positif, comme toujours : $625 = 25^2$ . Ce nombre est le carré du module de $z$ , notion que tu étudieras ensuite.

Exercice 7 Rendre un produit réel

★★☆Environ 7 min

Soit $m$ un nombre réel. On pose $z = (3 + 2i)(m - i)$ . Détermine la valeur de $m$ pour laquelle $z$ est un nombre réel.

Indice 1

Développe $z$ puis écris-le sous la forme $a + ib$ avec $a$ et $b$ dépendant de $m$ .

Indice 2

Un complexe est réel quand sa partie imaginaire est nulle.

Voir la correction pas à pas

On développe : $z = 3m - 3i + 2mi - 2i^2$ .
On remplace $i^2$ par $-1$ : $z = 3m + 2 + (2m - 3)i$ .
La partie réelle est $3m + 2$ et la partie imaginaire est $2m - 3$ .
$z$ est réel si et seulement si $2m - 3 = 0$ , soit $m = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ .
Vérification : pour $m = \dfrac{3}{2}$ , $z = \dfrac{9}{2} + 2 + 0\,i = \dfrac{13}{2}$ , bien réel.

Pour qu'un complexe dépendant d'un paramètre soit réel, on annule sa partie imaginaire ; pour qu'il soit imaginaire pur, on annulerait sa partie réelle. Dans les deux cas, il faut commencer par la forme algébrique.

Exercice 8 Système et conjugué

★★★Environ 10 min

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z - i\,\overline{z} = 3 + 3i$ . On note $z = a + ib$ ; calcule $a + b$ .

Indice 1

Développe $-i\,\overline{z}$ avec $\overline{z} = a - ib$ et rappelle-toi que $i^2 = -1$ .

Indice 2

Sépare ensuite parties réelle et imaginaire pour obtenir deux équations en $a$ et $b$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $z = a + ib$ ; alors $\overline{z} = a - ib$ .
On calcule $-i\,\overline{z} = -i(a - ib) = -ia + i^2 b = -b - ia$ .
Donc $2z - i\,\overline{z} = 2a + 2ib - b - ia = (2a - b) + (2b - a)i$ .
On identifie avec $3 + 3i$ : $2a - b = 3$ et $-a + 2b = 3$ .
De la première, $b = 2a - 3$ . On remplace : $-a + 4a - 6 = 3$ , donc $3a = 9$ et $a = 3$ , puis $b = 3$ .
La solution est $z = 3 + 3i$ , donc $a + b = 6$ .
Vérification : $2(3+3i) - i(3 - 3i) = 6 + 6i - 3i + 3i^2 = 6 + 3i - 3 = 3 + 3i$ . Correct.

Ici le système est linéaire à deux inconnues réelles. Prends l'habitude de vérifier la solution en la remplaçant dans l'équation de départ.

Exercice 9 Retrouver un complexe par sa somme et son produit avec son conjugué

★★★Environ 10 min

Un nombre complexe $z$ vérifie $z + \overline{z} = 4$ et $z\,\overline{z} = 13$ . Sa partie imaginaire est strictement positive. On note $z = a + ib$ ; détermine $b$ .

Indice 1

Écris $z + \overline{z}$ et $z\,\overline{z}$ en fonction de $a$ et $b$ .

Indice 2

Une fois $a$ trouvé grâce à la première condition, utilise la seconde pour obtenir $b^2$ .

Voir la correction pas à pas

On sait que $z + \overline{z} = 2a$ . La première condition donne donc $2a = 4$ , soit $a = 2$ .
On sait que $z\,\overline{z} = a^2 + b^2$ . La seconde condition donne $a^2 + b^2 = 13$ .
Avec $a = 2$ : $4 + b^2 = 13$ , donc $b^2 = 9$ et $b = 3$ ou $b = -3$ .
La partie imaginaire est strictement positive, donc $b = 3$ et $z = 2 + 3i$ .
Vérification : $z + \overline{z} = (2+3i) + (2-3i) = 4$ et $z\,\overline{z} = 4 + 9 = 13$ . Correct.

Sans l'indication sur le signe de la partie imaginaire, il y aurait deux solutions conjuguées, $2 + 3i$ et $2 - 3i$ . C'est normal : échanger $z$ et $\overline{z}$ ne change ni leur somme ni leur produit.

Exercice 10 Quotient, somme avec le conjugué et produit

★★★Environ 12 min

Soit $z = \dfrac{1+2i}{1-2i}$ .

Écris $z$ sous forme algébrique.
Calcule $z\,\overline{z}$ .
Calcule $z + \overline{z}$ et donne sa valeur décimale.

Indice 1

Multiplie le haut et le bas par $1 + 2i$ , conjugué du dénominateur.

Indice 2

Pour la somme, rappelle-toi que $z + \overline{z} = 2a$ si $z = a + ib$ .

Voir la correction pas à pas

On multiplie le haut et le bas par $1 + 2i$ : $z = \dfrac{(1+2i)^2}{(1-2i)(1+2i)}$ .
Numérateur : $(1+2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = -3 + 4i$ .
Dénominateur : $1^2 + 2^2 = 5$ .
Donc $z = -\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i$ .
Le produit vaut $z\,\overline{z} = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1$ .
Le conjugué est $\overline{z} = -\dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i$ , donc $z + \overline{z} = -\dfrac{6}{5} = -1{,}2$ .

La somme $z + \overline{z}$ est un réel qui vaut le double de la partie réelle. Le produit $z\,\overline{z}$ vaut ici $1$ , ce qui est un indice utile pour la suite du chapitre. La réponse numérique attendue est $z + \overline{z} = -1{,}2$ .

Exercice 11 Conjugué d'un produit : vérification

★★★Environ 10 min

Soient $z_1 = 1 + i$ et $z_2 = 2 - 3i$ .

Calcule $z_1 z_2$ puis son conjugué $\overline{z_1 z_2}$ .
Calcule $\overline{z_1}\;\overline{z_2}$ .
Compare les deux résultats. Quelle est la partie imaginaire de $\overline{z_1 z_2}$ ?

Indice 1

Calcule d'abord $z_1 z_2$ en développant, puis change le signe de la partie imaginaire.

Indice 2

Pour l'autre membre, conjugue d'abord chaque facteur puis multiplie.

Voir la correction pas à pas

On développe : $z_1 z_2 = (1+i)(2-3i) = 2 - 3i + 2i - 3i^2 = 2 - i + 3 = 5 - i$ .
On conjugue : $\overline{z_1 z_2} = 5 + i$ .
On conjugue les facteurs : $\overline{z_1} = 1 - i$ et $\overline{z_2} = 2 + 3i$ .
On multiplie : $(1-i)(2+3i) = 2 + 3i - 2i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$ .
Les deux résultats sont égaux : $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1}\;\overline{z_2}$ .
La partie imaginaire de $\overline{z_1 z_2} = 5 + i$ est $1$ .

Cet exemple illustre une règle démontrée plus haut en général : le conjugué d'un produit est le produit des conjugués. Un exemple vérifie une règle mais ne la démontre pas ; pour une démonstration, il faut poser $z_1 = a + ib$ et $z_2 = c + id$ et développer des deux côtés.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois multiplier par le conjugué ?

Dès qu'un $i$ se trouve au dénominateur d'une fraction, tu multiplies le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Tu obtiens alors $a^2 + b^2$ , un réel, en bas de la fraction, et tu peux séparer partie réelle et partie imaginaire. Si le dénominateur est déjà un réel, il suffit de diviser séparément chaque partie.

Pourquoi identifier parties réelles et parties imaginaires pour résoudre une équation ?

Parce que deux nombres complexes écrits sous forme algébrique sont égaux seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires aussi. Une équation complexe donne donc deux équations réelles, que tu sais résoudre. C'est pour cela qu'on pose $z = a + ib$ dès qu'une équation contient $\overline{z}$ : on ne peut pas isoler $z$ directement.

Les exercices de cette page sont-ils utiles pour la forme trigonométrique ?

Oui. Le programme de mathématiques expertes inclut le changement d'écriture entre $a + ib$ et la forme trigonométrique ¹. Pour passer d'une écriture à l'autre sans erreur, tu dois d'abord maîtriser le calcul sur $a + ib$ et sur le conjugué, car le module et l'argument se calculent à partir de $a$ et $b$ .

Sources

Mathématiques expertes - Programme complet (PDF), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase - Nombres complexes, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Élément conjugué, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Les exercices

Exercice 1 Somme avec un conjugué

Exercice 2 Un produit à développer

Exercice 3 Inverse d'un complexe

Exercice 4 Un quotient complet

Exercice 5 Une équation avec $z$ et $\overline{z}$

Exercice 6 Produit d'un complexe par son conjugué

Exercice 7 Rendre un produit réel

Exercice 8 Système et conjugué

Exercice 9 Retrouver un complexe par sa somme et son produit avec son conjugué

Exercice 10 Quotient, somme avec le conjugué et produit

Exercice 11 Conjugué d'un produit : vérification

Les questions qu'on se pose

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