Forme algébrique et conjugué : fiche de Terminale expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un nombre complexe s'écrit z=a+ib avec a et b réels, et i2=−1 : a est la partie réelle, b la partie imaginaire.
Le conjugué de z=a+ib est z=a−ib ; le produit zz=a2+b2 est un réel positif.
Le conjugué respecte somme, produit, quotient et puissance ; z est réel si et seulement si z=z.
Pour diviser par un complexe, on multiplie en haut et en bas par son conjugué.
Cette forme prépare le module, l'argument et la forme trigonométrique.
Où ça se place dans le programme
Cette fiche porte sur le chapitre des nombres complexes de l'option Mathématiques expertes. Le programme attend que tu sois capable de faire le trajet dans les deux sens entre l'écriture a+ib et l'écriture trigonométrique 1. La forme algébrique est donc ton point de départ : on la maîtrise d'abord, puis on s'en sert pour définir le module et l'argument.
Forme algébrique
Le conjugué
Méthode : mettre un quotient sous forme algébrique
Pièges et suite du chapitre
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On garde la partie réelle −4 et on change le signe de la partie imaginaire : −4−7i. Le choix 4−7i change aussi le signe de la partie réelle, ce qui donne l'opposé de z, pas son conjugué.
zz=a2+b2=22+(−5)2=4+25=29. L'erreur tentante est de trouver 4−25=−21 en oubliant que le carré de b est positif : −i2b2=+b2.
Si a+ib=a−ib, alors 2ib=0, donc b=0 et z est réel. Dire « faux » reviendrait à confondre avec z=−z, qui caractérise les imaginaires purs.
1+i1=21−i=21−21i, donc la partie imaginaire est −21. Le choix −21i inclut le i, alors qu'une partie imaginaire est un réel.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi multiplier par le conjugué pour diviser ?
Parce que c2+d2 est un réel : le produit (c+id)(c−id) fait disparaître le i du dénominateur. On obtient alors un quotient dont on lit directement la partie réelle et la partie imaginaire.
Le conjugué de $z$ est-il toujours différent de $z$ ?
Non. Si z est réel, sa partie imaginaire est nulle et z=z. C'est même la caractérisation des réels parmi les complexes.
Le mot « conjugué » a-t-il le même sens partout en mathématiques ?
Non. En algèbre avancée, on parle de conjugués d'un nombre algébrique, qui sont les racines de son polynôme minimal 3. En Terminale, tu n'utilises que le conjugué a−ib d'un complexe a+ib.