Forme trigonométrique et exponentielle : quiz de Terminale expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un nombre complexe non nul de module r et d'argument θ s'écrit r(cosθ+isinθ), soit reiθ en forme exponentielle 2.
Les formules d'Euler donnent cosθ=2eiθ+e−iθ et sinθ=2ieiθ−e−iθ1.
Produit : on multiplie les modules et on additionne les arguments ; quotient : on divise les modules et on soustrait les arguments.
Le conjugué de reiθ est re−iθ, et un module est toujours positif : pour un nombre négatif, on ajoute π à l'argument.
Avant de commencer
Ce quiz couvre le passage entre forme algébrique, forme trigonométrique et forme exponentielle, ainsi que les calculs qui deviennent simples avec l'exponentielle : produit, quotient, conjugué et puissance. Il revient aussi sur les formules d'Euler. Tu peux t'appuyer sur ce que tu connais déjà : forme algébrique, conjugué, module et argument.
Quiz
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Avec eiθ=cosθ+isinθ2, on obtient eiπ=cosπ+isinπ=−1+0i=−1. La réponse 1 vient de la confusion avec e0 ou e2iπ : le point d'argument π est à gauche de l'origine, pas à droite. Les réponses i et −i correspondent aux angles 2π et −2π.
On a eiπ/2=cos2π+isin2π=0+i×1=i2. L'erreur fréquente est d'inverser cosinus et sinus et de répondre 1. Quant à −i, il correspond à l'argument −2π.
Vrai. Comme eiθ=cosθ+isinθ2, son module vaut cos2θ+sin2θ=1. On pourrait croire que le module dépend de θ : c'est faux, θ ne change que la direction, jamais la distance à l'origine.
Le module est 12+12=2. En factorisant, z=2(21+i21)=2(cos4π+isin4π)=2eiπ/41. Oublier le module donne la première réponse, qui est de module 1. Prendre 2 comme module revient à oublier la racine carrée. L'argument 2π serait celui de i seul.
Le nombre −2 est sur l'axe réel négatif : son module est 2 et son argument est π (modulo 2π). Donc −2=2eiπ, car 2eiπ=2(−1+0i)2. L'écriture −2ei0 est tentante mais fausse : un module ne peut pas être négatif. Les arguments ±2π placeraient le point sur l'axe imaginaire.
La relation fonctionnelle donne eiπ/6eiπ/3=ei(π/6+π/3)=eiπ/21. On additionne donc les arguments : 6π+3π=2π, soit 0,5 en multiples de π. Multiplier les arguments (qui donnerait 18π2) est l'erreur typique : ce sont les modules qu'on multiplie, les arguments s'additionnent. Le produit vaut ici 6eiπ/2=6i.
Pour un quotient, on divise les modules, 24=2, et on soustrait les arguments, 2π−6π=3π. Donc z2z1=2eiπ/3, en utilisant eiθ/eiθ′=ei(θ−θ′) qui découle de la relation fonctionnelle 1. Additionner les arguments donnerait 32π : c'est la règle du produit, pas celle du quotient. Les deux autres réponses mélangent produit des modules ou somme des modules.
Un argument est défini modulo 2π : ei0, e2iπ et e−2iπ valent tous cos0+isin0=12. En revanche eiπ=−1, qui est un demi-tour et non un tour complet. Penser que seul ei0 vaut 1 revient à oublier la périodicité.
On a z=3cos4π+3isin4π. Le conjugué change le signe de la partie imaginaire : 3cos4π−3isin4π=3(cos(−4π)+isin(−4π))=3e−iπ/4. Le module est inchangé, seul l'argument est opposé. Mettre un signe moins devant 3 donnerait l'opposé de z, et 31 serait l'inverse du module : ce sont deux autres opérations.
Par la relation fonctionnelle, on multiplie l'argument par l'exposant : (eiπ/6)6=ei6π/6=eiπ=−11. On retrouve ici la logique de la formule de Moivre, que l'exponentielle permet de démontrer facilement 2. Diviser l'argument par 6 (qui donne 36π) est une erreur : on multiplie. Répondre 1 viendrait d'un tour complet, ce qui demanderait 12 au lieu de 6 en exposant.
Selon les formules d'Euler, cosθ=21(eiθ+e−iθ)1. On le retrouve en additionnant eiθ=cosθ+isinθ et e−iθ=cosθ−isinθ : les sinus s'annulent et il reste 2cosθ. Les expressions avec une différence ou avec 2i au dénominateur font disparaître le cosinus : la dernière est celle du sinus.
Faux. La formule d'Euler pour le sinus comporte une différence : sinθ=2i1(eiθ−e−iθ)1. En effet, en soustrayant e−iθ à eiθ, ce sont les cosinus qui s'annulent et il reste 2isinθ. Avec une somme au numérateur, on obtiendrait icosθ=−icosθ, qui n'est même pas réel.
On utilise exp(a+ib)=exp(a)(cosb+isinb)2. Ici exp(ln2)=2 et cos2π+isin2π=i, donc le résultat est 2i. La réponse i oublie le facteur exp(a), et la réponse ln2+i2π se contente de recopier l'exposant sans appliquer l'exponentielle.
Multiplier par −1 revient à multiplier par eiπ, ce qui ajoute π à l'argument : −3eiπ/5=3eiπeiπ/5=3ei6π/51. Le module reste 3 et reste positif. La première réponse ignore le signe, la deuxième confond opposé et conjugué. La dernière contient un module négatif, donc elle n'est pas une forme exponentielle valable.
Le module de 1+i est 2, et le module d'une puissance est la puissance du module : ∣(1+i)8∣=(2)8=24=16. On peut le vérifier en forme exponentielle : (1+i)8=(2eiπ/4)8=16ei2π=161. Une erreur courante est de ne pas élever le module à la puissance, et de répondre 2 ; une autre est de calculer 2×8.
Les questions qu'on se pose
Comment choisir entre forme algébrique et forme exponentielle dans un calcul ?
Pour additionner ou soustraire des nombres complexes, la forme algébrique a+ib est la plus pratique. Pour multiplier, diviser ou élever à une puissance, la forme exponentielle est bien plus rapide, car la relation fonctionnelle eiθeiθ′=ei(θ+θ′) transforme ces opérations en calculs sur les modules et les arguments 1. En cas de somme de deux termes en exponentielle, on repasse souvent par la forme algébrique ou on utilise les formules d'Euler.
Pourquoi un argument n'est-il défini que modulo $2\pi$ ?
Parce que cos et sin reviennent à la même valeur quand on ajoute un tour complet à l'angle : ei(θ+2π)=cos(θ+2π)+isin(θ+2π)=eiθ2. Ainsi eiπ et e−iπ sont égaux à −1. On choisit en général l'argument dans l'intervalle ]−π;π], mais toute valeur différant d'un multiple de 2π convient.
Les formules d'Euler servent à quoi, concrètement ?
Elles relient cosinus et sinus à l'exponentielle complexe 1. Elles permettent de retrouver la plupart des identités trigonométriques et de linéariser des expressions comme cospθsinqθ2. Elles servent aussi, en électrotechnique, à décrire commodément des signaux périodiques par des exponentielles à exposants imaginaires 3.