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Forme trigonométrique et exponentielle : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un complexe non nul s'écrit $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r=|z|>0$ et $\theta$ un argument : c'est la forme trigonométrique.
On pose $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ ; alors $z=re^{i\theta}$ est la forme exponentielle, et $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ .
Produit : modules multipliés, arguments additionnés. Quotient : modules divisés, arguments soustraits. Puissance : $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$ .
Le conjugué de $re^{i\theta}$ est $re^{-i\theta}$ ; l'inverse est $\frac{1}{r}e^{-i\theta}$ .
Formules d'Euler : $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ .
Pièges : le module doit être strictement positif, l'argument se donne modulo $2\pi$ , et la forme exponentielle ne simplifie pas une somme.

Pourquoi une nouvelle écriture des complexes ?

Jusqu'ici, tu écris un nombre complexe sous sa forme algébrique $z = a + ib$ , avec $a$ et $b$ réels. Cette écriture est parfaite pour additionner deux complexes : on additionne les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles. Elle devient pénible dès qu'il faut multiplier plusieurs fois ou calculer une puissance élevée. Essaie par exemple de développer $(1+i\sqrt{3})^{6}$ à la main : tu obtiens beaucoup de termes, beaucoup de signes, et beaucoup d'occasions de te tromper.

Le programme de Terminale demande de savoir convertir un complexe, écrit avec sa partie réelle et sa partie imaginaire, en une écriture qui fait intervenir cosinus et sinus ¹. Il introduit ensuite l'exponentielle imaginaire, notée $e^{i\theta}$ ¹. Ces deux écritures reposent sur le module et l'argument de $z$ , c'est-à-dire sa « distance à l'origine » et son « angle » dans le plan. Le gain est considérable : la multiplication de deux complexes se ramène à une addition d'angles.

Le chapitre avance de façon progressive. On commence par revoir module et argument, puis on construit la forme trigonométrique et la notation exponentielle. Ensuite on apprend à calculer avec cette notation, à résoudre des équations simples, et enfin à retrouver cosinus et sinus grâce aux formules d'Euler.

Rappel : module et argument

Pour trouver un argument, tu relies la position de $M$ aux valeurs de cosinus et de sinus. Si $r=|z|$ , alors le point $M$ est à la distance $r$ de l'origine et le segment $OM$ forme l'angle $\theta$ avec l'axe des abscisses. Les coordonnées de $M$ se lisent alors dans un triangle rectangle : $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$ . Cette relation est la clé de la section suivante.

La forme trigonométrique

ExempleExemple : un point du troisième quadrant, $z=-\sqrt3-i$

Le module vaut $r=\sqrt{3+1}=2$ . On factorise : $z=2\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\right)$ . Les deux coordonnées sont négatives, donc le point est dans le troisième quadrant. On cherche $\theta$ tel que $\cos\theta=-\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta=-\frac12$ : l'angle de référence est $\frac\pi6$ , et le point est de l'autre côté de l'origine par rapport à $\frac{\pi}{6}$ , ce qui donne $\theta=\pi+\frac\pi6=\frac{7\pi}{6}$ , ou encore $-\frac{5\pi}{6}$ en retranchant $2\pi$ . Les deux valeurs sont correctes :

$z=2\left(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\right).$

ModuleCalculer r = √(a² + b²)
FactoriserÉcrire z = r(a/r + i b/r)
AngleTrouver θ avec cos θ = a/r, sin θ = b/r
Écrirez = r(cos θ + i sin θ) = r e^(iθ)

Passer à la forme trigonométrique · La démarche pour écrire un complexe non nul en forme trigonométrique.

Quelques exponentielles imaginaires
Angle θ	e^(iθ) en forme algébrique
0	1
π/6	√3/2 + i/2
π/4	√2/2 + i√2/2
π/3	1/2 + i√3/2
π/2	i
π	−1

Quelques exponentielles imaginaires · Valeurs de

e^{i\theta}

pour des angles remarquables.

La notation exponentielle

Ce n'est pas un hasard si on choisit la lettre $e$ et un exposant. Le nombre $e^{i\theta}$ se comporte comme une exponentielle : il vérifie une relation fonctionnelle, qui transforme un produit en somme d'exposants ¹. Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ :

$e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}.$

Démonstration · Démonstration de la relation fonctionnelle

On développe le produit :

$e^{i\theta}e^{i\theta'}=(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta'+i\sin\theta').$

En utilisant $i^2=-1$ , on obtient

$(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta').$

Les formules d'addition de la trigonométrie donnent $\cos(\theta+\theta')$ pour la première parenthèse et $\sin(\theta+\theta')$ pour la seconde. Le produit vaut donc $\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')=e^{i(\theta+\theta')}$ .

Richard Feynman jugeait cette formule « l'une des formules les plus remarquables […] de toutes les mathématiques » ³.

Un avis célèbre

Calculer avec la forme exponentielle

La relation fonctionnelle fait tout le travail. Prenons deux complexes non nuls $z=re^{i\theta}$ et $z'=r'e^{i\theta'}$ . Les calculs sur les modules se font comme avec des réels positifs, et ceux sur les exposants comme avec des angles.

Démonstration · Justification de l'inverse, du conjugué et de la puissance

Inverse. D'après la relation fonctionnelle, $e^{i\theta}\times e^{-i\theta}=e^{0}=1$ . Donc $e^{-i\theta}$ est l'inverse de $e^{i\theta}$ , et $\frac1{re^{i\theta}}=\frac1re^{-i\theta}$ .

Conjugué. On a $\overline{\cos\theta+i\sin\theta}=\cos\theta-i\sin\theta=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=e^{-i\theta}$ , et $r$ est réel.

Puissance (pour $n$ entier positif). On applique la relation fonctionnelle $n$ fois : $(e^{i\theta})^n=e^{i\theta}\times\cdots\times e^{i\theta}=e^{in\theta}$ . Pour un exposant négatif, on passe par l'inverse. Cette égalité est connue sous le nom de formule de Moivre, que l'exponentielle permet de démontrer facilement ².

Lire un produit comme une rotation

Le calcul sur les arguments a une traduction visuelle. Prends un complexe $z=re^{i\theta}$ et multiplie-le par le nombre $e^{i\alpha}$ , dont le module vaut $1$ . Le résultat est $re^{i(\theta+\alpha)}$ : le module n'a pas bougé, donc le point image reste à la même distance de l'origine, mais son argument a augmenté de $\alpha$ . Le point a donc tourné autour de l'origine d'un angle $\alpha$ , dans le sens direct si $\alpha>0$ .

Si le facteur a un module différent de $1$ , par exemple $2e^{i\alpha}$ , le point tourne de $\alpha$ et sa distance à l'origine est en plus multipliée par $2$ . Un module plus petit que $1$ rapproche le point de l'origine. Cette lecture « rotation puis agrandissement » te sera très utile au chapitre suivant, consacré aux nombres complexes et à la géométrie.

Résoudre des équations avec la forme exponentielle

Quand une équation fait intervenir une puissance de l'inconnue, comme $z^n=w$ , la forme algébrique oblige à développer. La forme exponentielle donne un chemin direct : on écrit l'inconnue $z=re^{i\theta}$ , on transforme $z^n$ en $r^ne^{in\theta}$ , puis on identifie les modules et les arguments. Deux complexes non nuls sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et si leurs arguments sont égaux à un multiple de $2\pi$ près.

Les formules d'Euler

La définition $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ exprime l'exponentielle à l'aide de cosinus et de sinus. On peut aussi faire l'inverse : exprimer cosinus et sinus à l'aide d'exponentielles. Le programme de Terminale fait figurer ces égalités sous le nom de formules d'Euler ¹.

Démonstration · Démonstration

On écrit $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et $e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$ . En additionnant, les termes en sinus s'annulent : $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$ . En soustrayant, les termes en cosinus s'annulent : $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$ . Il suffit de diviser par $2$ ou par $2i$ .

Ces formules servent à retrouver la plupart des identités trigonométriques, et la fonction exponentielle est un moyen facile de linéariser des expressions comme $\cos^p\theta\sin^q\theta$ ². Linéariser, c'est transformer une puissance de cosinus ou de sinus en une somme de cosinus et de sinus d'arcs multiples.

Factoriser avec l'angle moitié

Les formules d'Euler servent aussi à trouver le module et l'argument d'une somme d'exponentielles, là où la forme exponentielle ne simplifie pas directement. L'idée est de factoriser par l'exponentielle de l'angle moyen des deux exposants, pour faire apparaître un cosinus.

Méthode complète et erreurs à éviter

Exercices corrigés

Exercice 1 Module et forme exponentielle d'un nombre simple

★☆☆Environ 8 min

On considère $z=1+i$ .

Calcule le module de $z$ .
Détermine un argument de $z$ .
Écris $z$ sous forme exponentielle.

Indice 1

Utilise $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Indice 2

Factorise par le module et reconnais cosinus et sinus d'un angle remarquable.

Voir la correction pas à pas

Le module vaut $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ .
On factorise : $z=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)$ .
On reconnaît $\cos\theta=\frac{\sqrt2}2$ et $\sin\theta=\frac{\sqrt2}2$ , donc $\theta=\frac\pi4$ .
La forme exponentielle est $z=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .

Le module est $\sqrt2$ , un argument est $\frac\pi4$ et $z=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .

Exercice 2 Une puissance élevée

★★☆Environ 12 min

Calcule $(1+i)^8$ en utilisant la forme exponentielle de $1+i$ .

Indice 1

Écris d'abord $1+i$ sous forme exponentielle.

Indice 2

Applique $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$ puis simplifie l'exponentielle.

Voir la correction pas à pas

On a $1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .
On élève à la puissance 8 : $(1+i)^8=(\sqrt2)^8e^{i8\pi/4}$ .
Le module vaut $(\sqrt2)^8=2^4=16$ et l'exposant vaut $i2\pi$ .
Comme $e^{i2\pi}=1$ , on trouve $(1+i)^8=16$ .

$(1+i)^8=16$ : le résultat est un réel, car l'argument $2\pi$ ramène le point sur l'axe des réels.

Exercice 3 Produit et quotient en forme exponentielle

★★★Environ 15 min

Soit $z_1=3e^{i\pi/3}$ et $z_2=2e^{i\pi/6}$ .

Calcule $z_1z_2$ et donne sa forme algébrique.
Calcule $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme exponentielle.
Donne le module de $z_1z_2$ .

Indice 1

Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.

Indice 2

Pour un quotient, les modules se divisent et les arguments se soustraient.

Voir la correction pas à pas

Produit : $z_1z_2=3\times2\,e^{i(\pi/3+\pi/6)}=6e^{i\pi/2}$ .
Comme $e^{i\pi/2}=i$ , la forme algébrique est $z_1z_2=6i$ .
Quotient : $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac32\,e^{i(\pi/3-\pi/6)}=\dfrac32\,e^{i\pi/6}$ .
Le module de $z_1z_2$ vaut $3\times2=6$ .

On a $z_1z_2=6i$ , $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac32e^{i\pi/6}$ et $|z_1z_2|=6$ .

Exercice 4 Une équation $z^3 = 8i$

★★★Environ 18 min

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=8i$ et donne chaque solution sous forme exponentielle. Quel est le module commun des solutions ?

Indice 1

Commence par écrire $8i$ sous forme exponentielle : son module est $8$ et son argument est $\frac\pi2$ .

Indice 2

Identifie modules et arguments, sans oublier le terme $2k\pi$ dans l'égalité des arguments.

Voir la correction pas à pas

On écrit $8i=8e^{i\pi/2}$ et on pose $z=re^{i\theta}$ , donc $z^3=r^3e^{3i\theta}$ .
Modules : $r^3=8$ , donc $r=2$ .
Arguments : $3\theta=\frac\pi2+2k\pi$ , donc $\theta=\frac\pi6+\frac{2k\pi}{3}$ .
Pour $k=0$ , $k=1$ , $k=2$ : $\theta=\frac\pi6$ , $\theta=\frac{5\pi}{6}$ , $\theta=\frac{3\pi}{2}$ . La valeur $k=3$ redonne la première.
Les solutions sont $2e^{i\pi/6}$ , $2e^{i5\pi/6}$ et $2e^{i3\pi/2}=-2i$ ; vérification : $(-2i)^3=-8i^3=8i$ .

L'équation a trois solutions, toutes de module $2$ : $2e^{i\pi/6}$ , $2e^{i5\pi/6}$ et $-2i$ .

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre forme trigonométrique et forme exponentielle ?

Il s'agit du même nombre écrit de deux façons. En forme trigonométrique, on écrit $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ; en forme exponentielle, on remplace la parenthèse par $e^{i\theta}$ et on écrit $re^{i\theta}$ . La seconde est plus courte et rend les calculs de produits beaucoup plus simples.

Pourquoi l'argument est-il défini « modulo $2\pi$ » ?

Parce qu'un tour complet ramène au même point. Comme $\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$ et $\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$ , les angles $\theta$ et $\theta+2\pi$ décrivent le même nombre complexe. Dans un exercice, on choisit souvent l'argument dans $]-\pi\,;\,\pi]$ , mais n'importe quelle valeur équivalente est correcte.

Comment savoir quelle forme utiliser dans un exercice ?

Regarde l'opération demandée. Pour une somme ou une différence, garde la forme algébrique. Pour un produit, un quotient, une puissance ou un conjugué, passe en forme exponentielle. Si l'énoncé impose le résultat sous une forme précise, convertis à la fin.

Peut-on écrire $0$ sous forme exponentielle ?

Non. Le nombre $0$ a un module nul et aucun argument, puisqu'il n'a pas de direction. La forme $re^{i\theta}$ n'a de sens ici que pour $r>0$ , donc seuls les complexes non nuls sont concernés.

À quoi servent les formules d'Euler ?

Elles permettent de remplacer cosinus et sinus par des exponentielles, ce qui facilite la linéarisation, par exemple celle de $\cos^2\theta$ ou de $\cos^3\theta$ ². Elles servent aussi à retrouver rapidement des identités de trigonométrie et sont employées en électrotechnique pour décrire des signaux périodiques ³.

Comment vérifier rapidement un résultat de forme exponentielle ?

Repasse en forme algébrique avec $a=r\cos\theta$ et $b=r\sin\theta$ , puis compare avec le nombre de départ. Tu peux aussi contrôler le module : il doit être positif et cohérent avec le calcul de $\sqrt{a^2+b^2}$ . Pour un produit, le module du résultat doit être le produit des modules.

Sources

Document ressource Éduscol - Mathématiques expertes Terminale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Formule d'Euler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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La forme trigonométrique

La notation exponentielle

Calculer avec la forme exponentielle

Lire un produit comme une rotation

Résoudre des équations avec la forme exponentielle

Les formules d'Euler

Factoriser avec l'angle moitié

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Exercice 2 Une puissance élevée

Exercice 3 Produit et quotient en forme exponentielle

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