Mathématiques expertes (option) · Terminale

Forme trigonométrique et exponentielle : exercices de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour tout réel $\theta$ , $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ : c'est le point du cercle unité d'argument $\theta$ .
Un nombre complexe non nul s'écrit $z=re^{i\theta}$ avec $r=|z|>0$ et $\theta$ un argument de $z$ .
Produit : on multiplie les modules et on additionne les arguments ; quotient : on divise les modules et on soustrait les arguments.
Puissance : $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$ ; pour revenir à l'algébrique, on utilise $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$ .
Formules d'Euler : $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ , utiles pour linéariser.

Comment utiliser ces exercices

Cette page rassemble des exercices de difficulté croissante sur la forme trigonométrique et la forme exponentielle d'un nombre complexe. Les premiers travaillent les changements de forme, les suivants les produits, quotients et puissances, les derniers les formules d'Euler et les raisonnements sur les arguments.

Procède toujours de la même façon. Cherche l'exercice sur papier, sans regarder, pendant le temps indiqué. Si tu bloques, ouvre un seul indice, puis recommence. Ce n'est qu'après avoir une réponse complète que tu lis la correction. Dans la correction, une étape correspond à une action précise : si ton résultat diffère, repère l'étape où ton raisonnement a divergé plutôt que de recopier la correction.

À retenirValeurs usuelles à connaître par cœur

Angle $\theta$	$\cos\theta$	$\sin\theta$
$0$	$1$	$0$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac12$
$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}$	$0$	$1$

Les autres angles se déduisent par symétrie par rapport aux axes du cercle trigonométrique.

Les exercices

Exercice 1 De l'algébrique à l'exponentiel

★☆☆Environ 6 min

On considère $z=1+i\sqrt{3}$ .

Calcule le module de $z$ .
Détermine un argument de $z$ .
Écris $z$ sous forme exponentielle.

Indice 1

Pour le module, utilise $\sqrt{a^2+b^2}$ avec $a=1$ et $b=\sqrt3$ .

Indice 2

Après factorisation par le module, tu cherches un angle dont le cosinus vaut $\tfrac12$ et le sinus $\tfrac{\sqrt3}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

Module : $|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{4}=2$ .
Factorisation : $z=2\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ .
On reconnaît $\cos\theta=\dfrac12$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ , donc $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ convient.
Comme $e^{i\pi/3}=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}$ ², on obtient $z=2e^{i\pi/3}$ .

Le module de $z$ est $2$ , un argument est $\dfrac{\pi}{3}$ et $z=2e^{i\pi/3}$ . Réflexe à retenir : on vérifie toujours cosinus et sinus.

Exercice 2 De l'exponentiel à l'algébrique

★☆☆Environ 5 min

Soit $z=4e^{i\pi/3}$ . Écris $z$ sous forme algébrique et donne sa partie réelle.

Indice 1

Utilise $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ avec $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ .

Indice 2

Rappelle-toi $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ et $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $z=4\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ ².
On remplace par les valeurs usuelles : $z=4\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ .
On distribue : $z=2+2i\sqrt3$ .
La partie réelle est donc $2$ .

$z=2+2i\sqrt3$ : sa partie réelle vaut $2$ . Cet exercice suit la démarche inverse du précédent. On peut le contrôler par le module : $\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{16}=4$ .

Exercice 3 Produit et quotient en forme exponentielle

★★☆Environ 8 min

Soient $z_1=2e^{i\pi/6}$ et $z_2=3e^{i\pi/3}$ .

Calcule $z_1z_2$ sous forme exponentielle puis algébrique.
Calcule $\dfrac{z_2}{z_1}$ sous forme exponentielle.
Donne la partie imaginaire de $z_1z_2$ .

Indice 1

La relation fonctionnelle donne $e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$ ¹.

Indice 2

Pour le quotient, on divise les modules et on soustrait les arguments : $\dfrac{e^{i\beta}}{e^{i\alpha}}=e^{i(\beta-\alpha)}$ .

Voir la correction pas à pas

On multiplie : $z_1z_2=2\times3\times e^{i\pi/6}e^{i\pi/3}$ .
On additionne les arguments grâce à la relation fonctionnelle ¹ : $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$ , donc $z_1z_2=6e^{i\pi/2}$ .
Forme algébrique : $6\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)=6i$ .
Quotient : $\dfrac{z_2}{z_1}=\dfrac32\,e^{i(\pi/3-\pi/6)}=\dfrac32\,e^{i\pi/6}$ .
La partie imaginaire de $z_1z_2=6i$ est $6$ .

$z_1z_2=6e^{i\pi/2}=6i$ et $\dfrac{z_2}{z_1}=\dfrac32e^{i\pi/6}$ . La forme exponentielle rend les produits presque immédiats, alors qu'en forme algébrique il faudrait développer.

Exercice 4 Inverse et conjugué d'un nombre en forme exponentielle

★★☆Environ 8 min

Soit $z=2e^{i\pi/3}$ .

Écris $\dfrac1z$ sous forme exponentielle.
Donne la forme algébrique de $\dfrac1z$ .
Compare avec $\overline{z}$ : quel lien y a-t-il entre $\dfrac1z$ et $\overline{z}$ ?

Indice 1

Écris $1=1\times e^{i\cdot0}$ et applique la règle du quotient.

Indice 2

Le conjugué de $re^{i\theta}$ est $re^{-i\theta}$ : calcule $\cos(-\theta)$ et $\sin(-\theta)$ .

Voir la correction pas à pas

Quotient : $\dfrac1z=\dfrac{1\times e^{0}}{2e^{i\pi/3}}=\dfrac12\,e^{i(0-\pi/3)}=\dfrac12\,e^{-i\pi/3}$ ¹.
Forme algébrique : $\dfrac12\left(\cos\dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12\left(\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\dfrac14-i\dfrac{\sqrt3}{4}$ .
Conjugué : $z=2\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=1+i\sqrt3$ , donc $\overline z=1-i\sqrt3=2e^{-i\pi/3}$ .
Comparaison : $\dfrac1z$ et $\overline z$ ont le même argument $-\dfrac{\pi}{3}$ , et leurs modules sont $\dfrac12$ et $2$ . On a donc $\dfrac1z=\dfrac{\overline z}{|z|^2}=\dfrac{\overline z}{4}$ .

$\dfrac1z=\dfrac12e^{-i\pi/3}=\dfrac14-i\dfrac{\sqrt3}{4}$ , dont la partie réelle vaut $0{,}25$ . Inverser un nombre complexe revient à inverser son module et à changer le signe de son argument.

Exercice 5 Argument d'un nombre à partie réelle négative

★★☆Environ 8 min

Soit $z=-1-i$ .

Calcule $|z|$ .
Détermine l'argument principal de $z$ , dans $]-\pi\,;\pi]$ , et donne-le sous la forme $k\pi$ avec $k$ décimal.
Écris $z$ sous forme exponentielle.

Indice 1

Après factorisation par $\sqrt2$ , tu dois avoir $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Indice 2

Un angle de référence de $\dfrac{\pi}{4}$ , placé dans le troisième quadrant, donne $-\pi+\dfrac{\pi}{4}$ .

Voir la correction pas à pas

Module : $|z|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt2$ .
Factorisation : $z=\sqrt2\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}-i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ .
Cosinus et sinus sont tous deux négatifs et égaux : le point est dans le troisième quadrant, à $\dfrac{\pi}{4}$ de l'axe réel négatif.
L'angle dans $]-\pi\,;\pi]$ est $-\pi+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{4}$ , soit $k=-0{,}75$ .
On conclut : $z=\sqrt2\,e^{-3i\pi/4}$ .

L'argument principal de $-1-i$ est $-\dfrac{3\pi}{4}$ . Erreur typique : répondre $\dfrac{\pi}{4}$ en se contentant de $\tan\theta=1$ ; cette égalité ne distingue pas $\dfrac{\pi}{4}$ de $-\dfrac{3\pi}{4}$ , seuls cosinus et sinus ensemble tranchent.

Exercice 6 Calculer une puissance

★★☆Environ 8 min

Calcule $(1+i)^8$ .

Indice 1

Écris d'abord $1+i$ sous forme exponentielle : son module est $\sqrt2$ .

Indice 2

On a $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$ , conséquence de la relation fonctionnelle appliquée $n$ fois ¹.

Voir la correction pas à pas

Module de $1+i$ : $\sqrt{1+1}=\sqrt2$ .
Factorisation : $1+i=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .
Puissance : $(1+i)^8=(\sqrt2)^8\,e^{8i\pi/4}=16\,e^{2i\pi}$ .
Comme $e^{2i\pi}=\cos2\pi+i\sin2\pi=1$ ², on obtient $16$ .

$(1+i)^8=16$ . En forme algébrique, il aurait fallu développer huit facteurs ; la forme exponentielle réduit tout à un calcul de module et d'angle.

Exercice 7 Module d'un quotient de deux nombres complexes

★★☆Environ 10 min

Soit $u=1+i\sqrt3$ et $v=1+i$ . On pose $w=\dfrac{u}{v}$ .

Écris $u$ et $v$ sous forme exponentielle.
En déduis $w$ sous forme exponentielle.
Donne le module de $w$ .

Indice 1

On connaît déjà $u=2e^{i\pi/3}$ et $v=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ par des calculs précédents ; refais-les si besoin.

Indice 2

Pour l'argument, il faut mettre $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$ au même dénominateur.

Voir la correction pas à pas

Pour $u$ : module $2$ , argument $\dfrac{\pi}{3}$ , donc $u=2e^{i\pi/3}$ .
Pour $v$ : module $\sqrt2$ , argument $\dfrac{\pi}{4}$ , donc $v=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .
Quotient ¹ : $w=\dfrac{2}{\sqrt2}\,e^{i(\pi/3-\pi/4)}$ .
Calcul de l'angle : $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{4\pi-3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{12}$ , et $\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$ .
Donc $w=\sqrt2\,e^{i\pi/12}$ et son module est $\sqrt2$ .

$w=\sqrt2\,e^{i\pi/12}$ : le module est $\sqrt2\approx1{,}414$ . On obtient ici un argument qui ne figure pas dans les valeurs usuelles, mais la forme exponentielle le donne sans aucune difficulté.

Exercice 8 Linéariser avec les formules d'Euler

★★★Environ 12 min

Pour tout réel $x$ , on veut exprimer $\cos^2x$ puis $\cos x\sin x$ comme combinaisons de cosinus ou sinus de multiples de $x$ .

Écris $\cos x$ avec une exponentielle et développe $\cos^2 x$ .
En déduis une expression de $\cos^2x$ sans puissance.
Fais de même pour $\cos x\sin x$ .

Indice 1

Pars de $\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ ¹ et utilise l'identité remarquable $(A+B)^2$ .

Indice 2

Rappelle-toi que $e^{ix}e^{-ix}=e^{0}=1$ et que $\dfrac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}=\cos2x$ .

Voir la correction pas à pas

On a $\cos^2x=\left(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2=\dfrac{e^{2ix}+2e^{ix}e^{-ix}+e^{-2ix}}{4}$ .
Comme $e^{ix}e^{-ix}=1$ (relation fonctionnelle ¹), il reste $\cos^2x=\dfrac{e^{2ix}+e^{-2ix}+2}{4}$ .
On regroupe avec la formule d'Euler : $\dfrac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}=\cos2x$ , donc $\cos^2x=\dfrac{1}{2}\left(\cos2x+1\right)$ .
Pour le produit : $\cos x\sin x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\times\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\dfrac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{4i}$ ¹.
On reconnaît $\dfrac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i}=\sin2x$ , donc $\cos x\sin x=\dfrac{1}{2}\sin2x$ .

On obtient $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$ et $\cos x\sin x=\dfrac{\sin2x}{2}$ . Cette technique, appelée linéarisation, est un usage classique des formules d'Euler ² ; elle sert par exemple à calculer des primitives de $\cos^2x$ .

Exercice 9 Quand une puissance devient réelle

★★★Environ 12 min

Soit $z=\sqrt3+i$ .

Écris $z$ sous forme exponentielle.
Détermine le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $z^n$ soit un réel strictement positif.
Donne alors la valeur de $z^n$ .

Indice 1

Un nombre $re^{i\theta}$ avec $r>0$ est un réel strictement positif exactement quand $\theta$ est un multiple de $2\pi$ .

Indice 2

Il faut que $n\times\dfrac{\pi}{6}$ soit un multiple de $2\pi$ .

Voir la correction pas à pas

Module : $|z|=\sqrt{3+1}=2$ .
Factorisation : $z=2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac12\right)=2e^{i\pi/6}$ .
On a $z^n=2^ne^{in\pi/6}$ .
Ce nombre est réel strictement positif si et seulement si $\dfrac{n\pi}{6}=2k\pi$ avec $k$ entier, soit $n=12k$ .
Le plus petit entier naturel non nul est $n=12$ ( $k=1$ ).
Alors $z^{12}=2^{12}e^{2i\pi}=4096$ .

Il faut $n=12$ et alors $z^{12}=4096$ . Le raisonnement général : on ramène la condition sur le nombre complexe à une condition sur son argument, qui devient un multiple de $2\pi$ .

Exercice 10 Somme de deux exponentielles imaginaires

★★★Environ 15 min

Soit $\theta$ un réel.

Montre que $1+e^{i\theta}=2\cos\dfrac{\theta}{2}\,e^{i\theta/2}$ .
Applique ce résultat à $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ et donne le module de $1+e^{2i\pi/3}$ .
Vérifie ce résultat directement en forme algébrique.

Indice 1

Factorise par $e^{i\theta/2}$ : écris $1=e^{i\theta/2}e^{-i\theta/2}$ .

Indice 2

Reconnais ensuite $\dfrac{e^{i\theta/2}+e^{-i\theta/2}}{2}$ comme un cosinus.

Voir la correction pas à pas

On écrit $1=e^{i\theta/2}\,e^{-i\theta/2}$ (relation fonctionnelle ¹) et $e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\,e^{i\theta/2}$ .
Par factorisation : $1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\right)$ .
D'après la formule d'Euler ¹, $e^{i\theta/2}+e^{-i\theta/2}=2\cos\dfrac{\theta}{2}$ , donc $1+e^{i\theta}=2\cos\dfrac{\theta}{2}\,e^{i\theta/2}$ .
Pour $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ : $2\cos\dfrac{\pi}{3}=2\times\dfrac12=1>0$ , donc le module vaut $1$ et un argument est $\dfrac{\pi}{3}$ .
Vérification : $e^{2i\pi/3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$ , donc $1+e^{2i\pi/3}=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$ , dont le module est $\sqrt{\tfrac14+\tfrac34}=1$ et l'argument $\dfrac{\pi}{3}$ .

Le module de $1+e^{2i\pi/3}$ est $1$ . Attention : le module vaut $2\cos\dfrac{\theta}{2}$ seulement quand ce nombre est positif ; s'il est négatif, le module est sa valeur absolue et l'argument gagne $\pi$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quel argument choisir entre deux angles qui ont la même tangente ?

La tangente ne suffit pas : deux angles qui diffèrent de $\pi$ ont la même tangente. Il faut écrire $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$ , puis vérifier les deux signes. C'est ce qui permet de distinguer, par exemple, $1+i$ (argument $\dfrac{\pi}{4}$ ) de $-1-i$ (argument $-\dfrac{3\pi}{4}$ ).

Pourquoi la forme exponentielle est-elle plus pratique que la forme algébrique ?

Parce que la relation fonctionnelle $e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}e^{i\theta'}$ ¹ transforme un produit de nombres complexes en un produit de modules et une somme d'arguments. Les produits, quotients et puissances deviennent presque immédiats. La forme algébrique reste préférable pour les sommes et pour lire directement les parties réelle et imaginaire.

Que faut-il savoir pour le contrôle ou le bac sur ce chapitre ?

Il faut savoir passer d'une forme à l'autre, calculer produits, quotients et puissances avec la forme exponentielle, et manier les formules d'Euler, qui figurent au programme de l'option ¹. Entraîne-toi aussi à justifier chaque argument en vérifiant cosinus et sinus.

Sources

Document ressource Éduscol - Mathématiques expertes Terminale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Formule d'Euler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Exercice 1 De l'algébrique à l'exponentiel

Exercice 2 De l'exponentiel à l'algébrique

Exercice 3 Produit et quotient en forme exponentielle

Exercice 4 Inverse et conjugué d'un nombre en forme exponentielle

Exercice 5 Argument d'un nombre à partie réelle négative

Exercice 6 Calculer une puissance

Exercice 7 Module d'un quotient de deux nombres complexes

Exercice 8 Linéariser avec les formules d'Euler

Exercice 9 Quand une puissance devient réelle

Exercice 10 Somme de deux exponentielles imaginaires

Les questions qu'on se pose

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