Forme trigonométrique et exponentielle : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un nombre complexe non nul de module r et d'argument θ s'écrit z=r(cosθ+isinθ)=reiθ.
La notation eiθ désigne cosθ+isinθ ; elle vérifie ei(θ+θ′)=eiθeiθ′.
Produit : on multiplie les modules et on additionne les arguments ; quotient : on divise les modules et on soustrait les arguments.
Formules d'Euler : cosθ=2eiθ+e−iθ et sinθ=2ieiθ−e−iθ.
Piège classique : le module r doit être strictement positif dans l'écriture reiθ.
Ce qu'il faut retenir
Cette fiche réunit ce qui sert à chaque exercice sur les nombres complexes en écriture polaire. Tu connais déjà la forme algébrique a+ib, le conjugué, le module et l'argument. Ici, on change d'écriture pour rendre les produits, les quotients et les puissances beaucoup plus simples.
Calculer avec la forme exponentielle
Passer d'une forme à l'autre
Les formules d'Euler
Démonstration · Démonstration
On a eiθ=cosθ+isinθ et, comme le cosinus est pair et le sinus impair, e−iθ=cosθ−isinθ.
En additionnant : eiθ+e−iθ=2cosθ, d'où la première formule.
En soustrayant : eiθ−e−iθ=2isinθ, d'où la seconde.
Erreurs fréquentes à éviter
Questions flash
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Le module de 2i est 2 et i=eiπ/2, donc 2i=2eiπ/2. La réponse 2eiπ vaut −2, et 2e−iπ/2 vaut −2i : elles ont le bon module mais un mauvais argument. Quant à eiπ/2, il vaut i : le module 2 est oublié.
Les modules se multiplient (3×2=6) et les arguments s'additionnent (6π+3π=2π). L'option avec 5 additionne les modules, ce qui est faux. Celle avec 18π multiplie les arguments, et celle avec −6π les soustrait, comme dans un quotient.
Comme eiθ=cosθ+isinθ, son module est cos2θ+sin2θ=1. On pense à tort que ce module dépend de θ, alors que seul l'argument en dépend.
La formule d'Euler pour le sinus a une différence au numérateur et 2i au dénominateur. La dernière option est celle du cosinus. Sans le i au dénominateur, le résultat serait un nombre imaginaire pur et non un réel.
Par la formule de Moivre, la puissance vaut (2)4eiπ=4×(−1)=−4. L'erreur tentante est de garder 2 sans l'élever à la puissance 4, ou d'oublier que eiπ=−1.
Les questions qu'on se pose
Forme trigonométrique et forme exponentielle, quelle différence ?
Aucune sur le fond. Comme eiθ=cosθ+isinθ2, les écritures r(cosθ+isinθ) et reiθ désignent le même nombre. La forme exponentielle est simplement plus courte et plus pratique pour calculer.
Pourquoi utiliser la forme exponentielle plutôt que la forme algébrique ?
Parce qu'elle transforme les produits, les quotients et les puissances en opérations simples sur les modules et les arguments. En revanche, pour additionner deux nombres complexes, la forme algébrique reste plus directe : on ajoute les parties réelles et les parties imaginaires.
Faut-il toujours donner l'argument entre $0$ et $2\pi$ ?
Non. Un argument est défini à 2π près, donc ei5π/3 et e−iπ/3 désignent le même nombre. Choisis plutôt l'argument principal, dans ]−π;π], quand l'énoncé le demande, et précise-le dans ta réponse.