Module et argument d'un nombre complexe : cours de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le module∣z∣ d'un complexe z=a+ib mesure l'éloignement du point d'affixe z par rapport à l'origine : ∣z∣=a2+b21.
Le module de z2−z1 est la distance entre les points d'affixes z1 et z21 ; ∣z∣=1 décrit le cercle trigonométrique.
Un argument de z=0 est une mesure de l'angle orienté entre le demi-axe réel positif et le vecteur image de z1 ; il est défini à 2kπ près 1.
L'argument principal est l'unique argument pris dans un intervalle d'amplitude 2π, en général ]−π;π]1.
Pour trouver un argument : placer le point, repérer le quadrant, calculer l'angle de référence avec cos et sin, puis conclure.
Pourquoi mesurer et orienter un nombre complexe
Jusqu'ici, tu as manipulé un nombre complexe sous sa forme algébriquez=a+ib, avec a et b réels. Cette écriture est pratique pour additionner, mais elle devient lourde dès qu'on multiplie, qu'on élève à une puissance ou qu'on cherche une interprétation géométrique. Deux questions naturelles apparaissent quand on place le point M d'affixe z dans le plan : à quelle distance est-il de l'origine, et dans quelle direction se trouve-t-il ?
La première question conduit au module. La seconde conduit à l'argument. À elles deux, ces notions décrivent le point par ses coordonnées « polaires » (une longueur et un angle) plutôt que par ses coordonnées « cartésiennes » (a et b). C'est le socle de la forme trigonométrique et de la forme exponentielle, que tu verras ensuite, puis de la géométrie avec les complexes et des racines n-ièmes de l'unité.
Ce cours suppose connus la forme algébrique, le conjugué z=a−ib et le fait que zz est un réel. Rien d'autre n'est nécessaire : les démonstrations qui suivent n'utilisent que ces outils.
Le module : une distance à l'origine
Pourquoi cette formule ? Place le point M(a;b). Le triangle formé par l'origine O, le point A(a;0) et M est rectangle en A. Ses côtés de l'angle droit mesurent ∣a∣ et ∣b∣. Le théorème de Pythagore donne OM2=a2+b2, donc OM=a2+b2. La formule du module n'est donc rien d'autre que Pythagore traduit dans le plan complexe.
Le module comme longueur $OM$ · Pour z = 3 + 4i, le module est la longueur OM = 5.
Propriétés du module et calculs
Démonstration · Démonstration
On calcule : zz=(a+ib)(a−ib)=a2−(ib)2=a2+b2=∣z∣2. Pour le conjugué, z=a−ib a pour module a2+(−b)2=a2+b2=∣z∣. Géométriquement, z et z sont symétriques par rapport à l'axe des réels, donc à la même distance de l'origine.
Démonstration · Démonstration de la multiplicativité
On part de ∣zz′∣2=(zz′)zz′. Comme le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, cela vaut zzz′z′=∣z∣2∣z′∣2. Deux réels positifs ayant le même carré sont égaux, donc ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣.
Pour l'inverse : z1∣z∣=z1⋅z=∣1∣=1, d'où z1=∣z∣1. La formule pour zn s'obtient en répétant la multiplicativité.
Démonstration · Pourquoi $|z|=0$ entraîne $z=0$
Si a2+b2=0 avec a,b réels, alors comme a2≥0 et b2≥0, chacun est nul : a=b=0. Réciproquement ∣0∣=0.
Module, distances et cercles
C'est la même idée que pour le module seul : le vecteur AB a pour affixe zB−zA, et sa longueur est son module. Prendre zA=0 redonne la définition du module.
L'argument : une mesure de direction
Le quotient z/∣z∣ a pour module 1 : il se trouve sur le cercle trigonométrique, et un point de ce cercle est repéré par son angle θ à l'aide du cosinus et du sinus. Diviser z par son module revient donc à ne garder que la direction de z, en oubliant la distance à l'origine. C'est pourquoi le module et l'argument se complètent : l'un donne la longueur, l'autre la direction.
Le nombre 0 n'a pas d'argument : son vecteur est nul et n'a aucune direction. Le module de 0 existe (il vaut 0), mais arg(0) n'a pas de sens.
Déterminer un argument en pratique
PlacerRepérer le quadrant du point.
ModuleCalculer r = √(a² + b²).
Cos et sinÉcrire cos θ = a/r et sin θ = b/r.
AngleReconnaître l'angle remarquable.
IntervalleRamener dans ]−π ; π] si besoin.
Déterminer un argument
Arguments du conjugué, de l'opposé et liens avec la géométrie
Démonstration · Démonstration
On écrit z=r(cosθ+isinθ) avec r=∣z∣>0. Le conjugué est z=r(cosθ−isinθ)=r(cos(−θ)+isin(−θ)) puisque le cosinus est pair et le sinus impair : −θ est un argument de z. L'opposé est −z=r(−cosθ−isinθ)=r(cos(θ+π)+isin(θ+π)), donc θ+π est un argument de −z. Le troisième résultat s'obtient en combinant les deux.
Ces formules ont une lecture géométrique immédiate. Le conjugué est le symétrique par rapport à l'axe des réels : l'angle change de signe. L'opposé est le symétrique par rapport à l'origine : on ajoute un demi-tour, soit π. Quant à −z, c'est le symétrique par rapport à l'axe des imaginaires.
Erreurs fréquentes et lien avec la suite
Avec le module et l'argument, tu possèdes les deux paramètres d'un nombre complexe en coordonnées polaires. La prochaine étape consistera à écrire z=r(cosθ+isinθ) puis z=reiθ, à constater que les arguments s'additionnent quand on multiplie, et à s'en servir pour résoudre des problèmes de géométrie et pour trouver les racines n-ièmes de l'unité.
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer un module
★☆☆Environ 5 min
Calcule le module du nombre complexe z=5+12i.
Indice 1
Applique la définition ∣z∣=a2+b2 avec a=5 et b=12.
Voir la correction pas à pas
On identifie la partie réelle a=5 et la partie imaginaire b=12.
On calcule a2+b2=25+144=169.
On prend la racine carrée : ∣z∣=169=13.
Le module de 5+12i est 13 : le point d'affixe z est à la distance 13 de l'origine.
Exercice 2 Distance entre deux points
★☆☆Environ 6 min
Dans le plan complexe, le point A a pour affixe zA=2+3i et le point B a pour affixe zB=−1+7i. Calcule la distance AB.
Indice 1
La distance AB est le module de zB−zA.
Indice 2
Soustrais d'abord les parties réelles, puis les parties imaginaires.
Voir la correction pas à pas
On utilise AB=∣zB−zA∣.
On calcule zB−zA=(−1−2)+(7−3)i=−3+4i.
On calcule le module : (−3)2+42=25=5.
La distance AB vaut 5, résultat que l'on retrouve en appliquant Pythagore dans un repère.
Exercice 3 Argument principal dans le deuxième quadrant
★★☆Environ 8 min
Détermine l'argument principal de z=−1+i, dans l'intervalle ]−π;π]. Donne une valeur approchée à 10−4 près.
Indice 1
Calcule d'abord ∣z∣, puis écris cosθ et sinθ.
Indice 2
Le cosinus est négatif et le sinus positif : dans quel quadrant est le point ?
Voir la correction pas à pas
On calcule ∣z∣=(−1)2+12=2.
On en déduit cosθ=−21=−22 et sinθ=22.
Le cosinus est négatif et le sinus positif : le point est dans le deuxième quadrant, avec un angle de référence 4π.
On obtient θ=π−4π=43π, qui est bien dans ]−π;π].
Valeur approchée : 43π≈2,3562.
L'argument principal de −1+i est 43π≈2,3562. La tangente seule aurait donné −4π, qui correspond à 1−i : le quadrant est indispensable.
Exercice 4 Module d'un produit sans le développer
★★★Environ 10 min
Soit z=(3+4i)(5−12i). Calcule ∣z∣ sans développer le produit, puis vérifie en développant que z=63−16i donne le même module.
Indice 1
Utilise ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣.
Indice 2
Pour la vérification, calcule 632+162.
Voir la correction pas à pas
On utilise la multiplicativité du module : ∣z∣=∣3+4i∣×∣5−12i∣.
Le module vaut 65 dans les deux calculs. La propriété du produit évite de développer et réduit le risque d'erreur de signe.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On a ∣z∣=32+(−4)2=25=5. Le choix 7 vient d'une addition 3+4 sans carrés ni racine ; 25 oublie la racine carrée ; −1 est impossible puisqu'un module est un réel positif.
Vrai : a2+b2=0 avec a,b réels impose a=b=0, car chaque carré est positif ou nul. Penser qu'un module nul peut venir d'un z non nul, par compensation entre a2 et b2, est faux : ces deux carrés ne peuvent pas se compenser.
Le point d'affixe −2 est sur le demi-axe réel négatif : l'angle avec le demi-axe positif est un demi-tour, soit π (à 2kπ près). L'argument 0 correspondrait à un réel positif. Quant à −π, c'est bien aussi un argument (car −π=π−2π), mais ce n'est pas le seul : l'adverbe « uniquement » rend ce choix faux.
On a ∣i∣=1, 53+4i=55=1 et ∣−1∣=1. En revanche ∣1+i∣=2=1 : la tentation est de croire que des coefficients égaux à 1 donnent un module égal à 1.
On a ∣2−3i∣2=22+(−3)2=4+9=13. Il est inutile de passer par la racine carrée. L'erreur fréquente est de calculer (2−3i)2=−5−12i, qui est un complexe non réel et n'est pas un module au carré.
Faux : si θ est un argument, tous les réels θ+2kπ avec k entier le sont aussi. Seul l'argument principal, pris dans un intervalle d'amplitude 2π fixé, est unique.
Le point (0;−1) est sur le demi-axe imaginaire négatif, à un quart de tour dans le sens indirect : −2π. L'angle 23π est un argument de −i mais sort de l'intervalle ; 2π est celui de i ; −π est exclu de l'intervalle et correspond à −1.
On calcule zB−zA=3+4i et AB=9+16=5. L'erreur tentante est de calculer ∣zB∣−∣zA∣=41−2, qui n'est pas la distance entre les points.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le module s'écrit-il comme une valeur absolue ?
Parce que pour un réel x (partie imaginaire nulle), x2+02=x2=∣x∣ : le module redonne exactement la valeur absolue. Dans les deux cas, c'est une distance à l'origine, sur une droite pour un réel et dans le plan pour un complexe 1.
Pourquoi un nombre complexe a-t-il plusieurs arguments ?
Un argument est une mesure d'angle, et un angle est connu à un nombre entier de tours près. Ajouter 2π ramène au même vecteur, donc les arguments de z sont tous les θ+2kπ1. Pour obtenir une seule valeur, on impose un intervalle de référence, d'où l'argument principal.
Comment savoir si je dois donner un argument ou l'argument principal ?
Lis la question. « Donner un argument » accepte toute valeur θ+2kπ. « Donner **l'**argument principal » demande la valeur de l'intervalle de référence, ici ]−π;π]. En cas de doute, donne l'argument principal et précise l'intervalle : il est valable dans les deux cas.
Peut-on calculer l'argument d'un complexe avec $\arctan(b/a)$ ?
Seulement quand a>0. Si a<0, arctan(b/a) donne un angle du mauvais quadrant : il faut ajouter ou retrancher π. Et si a=0, le quotient n'existe pas. La méthode la plus sûre reste le couple cosθ=a/∣z∣, sinθ=b/∣z∣.
À quoi servent le module et l'argument ?
Ils permettent de décrire un point par une distance et une direction. Le module sert aux distances, aux cercles et aux médiatrices ; l'argument sert aux angles et aux rotations. Ils préparent la forme trigonométrique et exponentielle, où multiplier des complexes revient à multiplier leurs modules et ajouter leurs arguments.