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Mathématiques expertes (option) · Terminale

Module et argument : quiz de Terminale maths expertes

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Le module de z=a+ibz=a+ib est le réel positif ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2} : il mesure la distance entre l'origine et le point d'affixe zz 1.
  • Pour deux points d'affixes z1z_1 et z2z_2, la longueur du segment qui les relie est donnée par ∣z2−z1∣|z_2-z_1| 1.
  • Un argument de zz non nul mesure l'angle entre le demi-axe des réels positifs et le vecteur associé à zz ; il est défini à 2kπ2k\pi près 1.
  • L'argument principal est l'unique argument qui se trouve dans l'intervalle ]−π ;π]]-\pi\,;\pi] 1.
  • Un nombre complexe de module 1 a pour image un point à distance 1 de l'origine : ces points forment le cercle trigonométrique 1.

Avant de commencer

Ce quiz porte sur deux notions qui suivent la forme algébrique et le conjugué : le module et l'argument d'un nombre complexe. Tu y calculeras des modules, des distances entre deux points du plan, des arguments de nombres simples, et tu repéreras les erreurs que l'on commet le plus souvent.

Prends un brouillon : la plupart des questions se résolvent en deux lignes de calcul. Lis l'explication après chaque réponse, même si tu as juste, car elle indique l'erreur tentante.

Quiz

15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Quel est le module de z=3+4iz=3+4i ?

  2. Quel est le module de z=−5z=-5 ?

  3. Donne la valeur approchée à 10−210^{-2} près du module de z=1+iz=1+i.

  4. On note z1=1+2iz_1=1+2i et z2=4+6iz_2=4+6i. Quelle est la distance entre les points d'affixes z1z_1 et z2z_2 ?

  5. Le module d'un nombre complexe peut être négatif.

  6. Que représentent géométriquement les nombres complexes de module 1 ?

  7. Quel est l'argument principal de z=1+iz=1+i, c'est-à-dire son argument dans ]−π ;π]]-\pi\,;\pi] ?

  8. Quels réels sont des arguments de z=1+iz=1+i ? (plusieurs réponses possibles)

    Plusieurs réponses possibles.

  9. Quel est l'argument principal de z=−1z=-1 ?

  10. Quel est l'argument principal de z=−iz=-i ?

  11. Tout nombre complexe, y compris 00, possède un argument.

  12. Quel est le module de z=5−12iz=5-12i ? (Indice : calcule d'abord celui de 5+12i5+12i si tu veux comparer.)

  13. Quel est l'argument principal de z=1−i3z=1-i\sqrt3 ?

  14. Pour z=−1+iz=-1+i, un élève calcule arctan⁡(1−1)=−π4\arctan\left(\dfrac{1}{-1}\right)=-\dfrac{\pi}{4} et conclut que c'est l'argument principal. Quel est le bon argument principal ?

  15. Si θ\theta est un argument de z≠0z\neq0, alors θ+2π\theta+2\pi est aussi un argument de zz.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi l'argument d'un nombre complexe n'est-il pas unique ?

Un angle ne change pas quand on ajoute un tour complet. Si θ\theta est un argument de zz, tous les réels θ+2kπ\theta+2k\pi avec kk entier le sont aussi 1. Pour avoir une seule valeur, on choisit l'argument principal, l'unique argument situé dans un intervalle de longueur 2π2\pi ; en Terminale, c'est ]−π ;π]]-\pi\,;\pi] 1.

Comment savoir quel quadrant choisir pour l'argument ?

Regarde les signes de la partie réelle aa et de la partie imaginaire bb. Si a>0a>0 et b>0b>0, l'argument est entre 00 et π2\frac{\pi}{2} ; si a<0a<0 et b>0b>0, entre π2\frac{\pi}{2} et π\pi ; si a<0a<0 et b<0b<0, entre −π-\pi et −π2-\frac{\pi}{2} ; si a>0a>0 et b<0b<0, entre −π2-\frac{\pi}{2} et 00. Vérifie ensuite avec cos⁡θ=a∣z∣\cos\theta=\frac{a}{|z|} et sin⁡θ=b∣z∣\sin\theta=\frac{b}{|z|}.

À quoi sert le module dans un exercice de géométrie ?

Il permet de calculer des distances : la longueur entre les points d'affixes z1z_1 et z2z_2 vaut ∣z2−z1∣|z_2-z_1| 1. Pour démontrer qu'un triangle est isocèle, ou qu'un point est sur un cercle de centre donné, on compare des modules de la forme ∣zB−zA∣|z_B-z_A|.

Sources

  1. Cours des nombres complexes - L1 PEIP Mathématiques Générales, Université Aix-Marseille. Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Modulation du signal, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Modulation de fréquence, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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