Module et argument d'un nombre complexe : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Le module∣z∣ est la distance entre l'origine et le point d'affixe z ; pour z=a+ib, ∣z∣=a2+b2.
Un argument de z=0 est une mesure de l'angle entre le demi-axe des réels positifs et le vecteur associé ; il est défini à 2kπ près.
L'argument principal est l'unique argument pris dans un intervalle de longueur 2π ; en Terminale : ]−π;π].
Pour trouver θ : calculer ∣z∣, puis résoudre cosθ=∣z∣a et sinθ=∣z∣b ensemble.
Piège n°1 : 0 n'a pas d'argument. Piège n°2 : arctanab seul ne suffit pas quand a<0.
Le module : une distance
L'argument : un angle
Méthode : trouver module et argument
Pièges à éviter
Questions flash
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∣z∣=32+42=25=5. Répondre 7 revient à additionner les parties au lieu d'utiliser Pythagore ; répondre 25 oublie la racine carrée.
Le point d'affixe −1 est sur le demi-axe des réels négatifs : l'angle avec le demi-axe des réels positifs vaut π. 0 conviendrait pour 1, pas pour −1.
Les arguments de z sont les θ+2kπ avec k entier 1 ; ici k=2. Ce n'est pas faux parce que 4π dépasse 2π : le nombre de tours n'est pas limité.
Ici cosθ=sinθ=−22, donc le point est dans le troisième quadrant : θ=−43π. 4π est tentant car tanθ=1, mais il donnerait un cosinus et un sinus positifs.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi le nombre 0 n'a-t-il pas d'argument ?
Le module de 0 est 0 : le vecteur associé est nul, il n'a ni direction ni angle avec l'axe des réels. L'argument n'est défini que pour les nombres non nuls 1.
Quelle différence entre un argument et l'argument principal ?
Un nombre non nul a une infinité d'arguments, qui diffèrent d'un multiple de 2π1. L'argument principal est celui des arguments qui tombe dans l'intervalle choisi, ]−π;π] en Terminale ; il est unique 1.
À quoi servent le module et l'argument ?
Le module mesure des distances : ∣z2−z1∣ est la distance entre deux points 1. L'argument donne l'orientation. Ensemble, ils permettent d'écrire un complexe sous forme trigonométrique puis exponentielle, très utile pour les produits, les puissances et la géométrie.