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Module et argument : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le module de $z=a+ib$ est la distance de l'origine au point d'affixe $z$ : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .
Un argument de $z\neq 0$ est une mesure de l'angle entre le demi-axe des réels et le vecteur associé ; il est défini à $2k\pi$ près.
Pour trouver un argument : calcule $|z|$ , puis cherche $\theta$ tel que $\cos\theta=\frac{a}{|z|}$ et $\sin\theta=\frac{b}{|z|}$ .
Le module de $z_2-z_1$ est la distance entre les points d'affixes $z_1$ et $z_2$ .

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du calcul direct à des problèmes qui demandent de combiner plusieurs idées. Cherche chaque énoncé sur papier, sans regarder, pendant quelques minutes. Si tu bloques, ouvre un premier indice, puis réessaie. Ne lis la correction qu'après avoir écrit une réponse complète, même fausse : comparer ta rédaction à celle du corrigé est ce qui fait progresser, bien plus que de relire un résultat.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. Un nombre complexe $z=a+ib$ est associé au point de coordonnées $(a\,;b)$ et au vecteur qui joint l'origine à ce point. Garde cette image en tête : presque tous les exercices se ramènent à lire une distance ou un angle sur une figure que tu peux esquisser en trente secondes.

RemarqueLes points sur les axes

Quand le point est sur un axe, le cosinus ou le sinus vaut 0 et la méthode reste valable. Voici quelques cas à connaître, tous obtenus avec $\cos\theta=\frac{a}{|z|}$ et $\sin\theta=\frac{b}{|z|}$ :

Nombre $z$	$\cos\theta$	$\sin\theta$	Argument dans $]-\pi\,;\pi]$
$5$	$1$	$0$	$0$
$-5$	$-1$	$0$	$\pi$
$3i$	$0$	$1$	$\frac{\pi}{2}$
$-3i$	$0$	$-1$	$-\frac{\pi}{2}$

Dans chaque cas, le module est la valeur absolue de la partie non nulle.

Les erreurs de calcul à surveiller

Avant de te lancer, voici les erreurs qui coûtent le plus de points dans ce chapitre. Elles ne viennent presque jamais de la notion elle-même, mais d'un geste automatique mal fait.

Les exercices

Exercice 1 Module d'un nombre complexe simple

★☆☆Environ 4 min

Calcule le module du nombre complexe $z=3+4i$ .

Indice 1

Identifie la partie réelle $a$ et la partie imaginaire $b$ .

Indice 2

Applique $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Voir la correction pas à pas

On lit $a=3$ et $b=4$ .
On calcule $a^2+b^2=9+16=25$ .
On prend la racine carrée : $|z|=\sqrt{25}=5$ .

$|3+4i|=5$ . C'est la distance de l'origine au point de coordonnées $(3\,;4)$ : on retrouve le triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.

Exercice 2 Reconnaître un nombre de module 1

★☆☆Environ 5 min

Soit $z=\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i$ . Calcule $|z|$ . Que peut-on dire de la position du point associé à $z$ par rapport à l'origine ?

Indice 1

Les parties réelle et imaginaire sont des fractions : élève-les au carré avec soin.

Indice 2

Pense à la distance entre l'origine et le point.

Voir la correction pas à pas

On a $a=\frac{3}{5}$ et $b=\frac{4}{5}$ .
$a^2+b^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1$ .
Donc $|z|=\sqrt{1}=1$ .

Le module vaut 1 : le point associé à $z$ est situé à la distance 1 de l'origine, donc sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1. ¹

Exercice 3 Une distance entre deux points

★☆☆Environ 6 min

Dans le plan complexe, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes $z_A=2+i$ et $z_B=-1+5i$ . Calcule la distance $AB$ .

Indice 1

Le module de $z_B-z_A$ donne la distance entre $A$ et $B$ .

Indice 2

Commence par calculer la différence $z_B-z_A$ en séparant parties réelle et imaginaire.

Voir la correction pas à pas

Le module de $z_B-z_A$ est la distance entre les points d'affixes $z_A$ et $z_B$ . ¹
On calcule $z_B-z_A=(-1-2)+(5-1)i=-3+4i$ .
On applique la formule : $|{-3}+4i|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ .

$AB=5$ . Attention au signe : $(-3)^2=9$ , jamais $-9$ . Le résultat serait le même avec $z_A-z_B$ , puisque le module ne dépend pas du signe de la différence.

Exercice 4 Périmètre d'un triangle

★★☆Environ 10 min

Dans le plan complexe, on considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes $z_A=1+i$ , $z_B=4+i$ et $z_C=4+5i$ . Calcule le périmètre du triangle $ABC$ .

Indice 1

Le périmètre est la somme des trois longueurs $AB$ , $BC$ et $AC$ .

Indice 2

Chaque longueur est le module d'une différence d'affixes.

Voir la correction pas à pas

Pour $AB$ : $z_B-z_A=3+0i$ , donc $AB=\sqrt{3^2+0^2}=3$ .
Pour $BC$ : $z_C-z_B=0+4i$ , donc $BC=\sqrt{0^2+4^2}=4$ .
Pour $AC$ : $z_C-z_A=3+4i$ , donc $AC=\sqrt{9+16}=5$ .
Le périmètre vaut $3+4+5=12$ .

Le périmètre est 12. Les longueurs 3, 4 et 5 vérifient $3^2+4^2=5^2$ : le triangle est rectangle en $B$ , ce qu'on voit aussi sur les affixes, puisque $AB$ est horizontal et $BC$ vertical. Chaque côté est le module d'une différence d'affixes. ¹

Exercice 5 Argument de 1 + i

★★☆Environ 8 min

Détermine un argument de $z=1+i$ , en radians. Donne la valeur dans l'intervalle $]-\pi\,;\pi]$ .

Indice 1

Calcule d'abord le module.

Indice 2

Cherche l'angle usuel dont le cosinus et le sinus valent tous deux $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

Module : $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ .
On écrit $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
L'angle usuel qui convient aux deux égalités est $\dfrac{\pi}{4}$ , qui appartient à $]-\pi\,;\pi]$ .

Un argument de $1+i$ est $\dfrac{\pi}{4}$ ( $\approx 0{,}785$ rad), à $2k\pi$ près. ¹ Le vecteur associé fait un angle de 45° avec le demi-axe des réels : c'est cohérent, car $a=b$ .

Exercice 6 Argument dans le deuxième quadrant

★★☆Environ 10 min

Détermine l'argument de $z=-1+i\sqrt{3}$ dans l'intervalle $]-\pi\,;\pi]$ , en radians.

Indice 1

Le module est un entier simple.

Indice 2

Ici le cosinus est négatif et le sinus positif : dans quel quadrant est le point ?

Voir la correction pas à pas

Module : $|z|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$ .
$\cos\theta=\dfrac{-1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
Le point est dans le deuxième quadrant. L'angle de cosinus $\frac12$ et de sinus $\frac{\sqrt3}{2}$ est $\frac{\pi}{3}$ ; l'angle $\pi-\frac{\pi}{3}$ a un cosinus opposé et le même sinus.
Donc $\theta=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ , qui appartient bien à $]-\pi\,;\pi]$ .

L'argument de $-1+i\sqrt{3}$ est $\dfrac{2\pi}{3}$ ( $\approx 2{,}094$ rad). Avec $\arctan\frac{b}{a}=\arctan(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}$ on aurait trouvé un angle faux, d'où l'importance de regarder les deux signes.

Exercice 7 Argument dans le troisième quadrant

★★☆Environ 10 min

Détermine l'argument de $z=-\sqrt{3}-i$ dans l'intervalle $]-\pi\,;\pi]$ , en radians.

Indice 1

Calcule $|z|$ : tu devrais trouver un entier.

Indice 2

Cosinus et sinus sont tous deux négatifs. Un angle négatif de l'intervalle convient.

Voir la correction pas à pas

Module : $|z|=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{4}=2$ .
$\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta=-\dfrac{1}{2}$ .
Le point est dans le troisième quadrant. L'angle de référence est $\frac{\pi}{6}$ (cosinus $\frac{\sqrt3}{2}$ , sinus $\frac12$ ).
Un angle du troisième quadrant s'écrit $\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$ , qui sort de $]-\pi\,;\pi]$ . On retire $2\pi$ : $\theta=\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}$ .

L'argument cherché est $-\dfrac{5\pi}{6}$ ( $\approx -2{,}618$ rad). Les deux écritures $\frac{7\pi}{6}$ et $-\frac{5\pi}{6}$ sont des arguments de $z$ , car elles diffèrent de $2\pi$ . ¹

Exercice 8 Argument dans l'intervalle [0 ; 2π[

★★☆Environ 10 min

Détermine l'argument de $z=-2-2i$ dans l'intervalle $[0\,;2\pi[$ , en radians.

Indice 1

Calcule le module : il n'est pas entier, mais il se simplifie.

Indice 2

Les parties réelle et imaginaire sont égales et négatives : le point est sur la bissectrice du troisième quadrant.

Voir la correction pas à pas

Module : $|z|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ .
$\cos\theta=\dfrac{-2}{2\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
L'angle de référence est $\frac{\pi}{4}$ . Dans le troisième quadrant, on ajoute $\pi$ : $\theta=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$ .
Cette valeur appartient bien à $[0\,;2\pi[$ , donc c'est la réponse demandée.

L'argument dans $[0\,;2\pi[$ est $\dfrac{5\pi}{4}\approx 3{,}927$ . Dans $]-\pi\,;\pi]$ , le même nombre complexe aurait pour argument $-\frac{3\pi}{4}$ : la valeur change selon l'intervalle, mais les deux diffèrent de $2\pi$ . ¹

Exercice 9 Trouver une inconnue à partir du module

★★★Environ 10 min

Soit $x$ un réel strictement positif et $z=3+ix$ . Détermine $x$ pour que $|z|=5$ .

Indice 1

Écris l'égalité $\sqrt{3^2+x^2}=5$ .

Indice 2

Élève les deux membres au carré, puis garde la solution positive.

Voir la correction pas à pas

On traduit : $\sqrt{9+x^2}=5$ .
On élève au carré : $9+x^2=25$ , donc $x^2=16$ .
Les solutions de $x^2=16$ sont $x=4$ et $x=-4$ .
L'énoncé impose $x>0$ , donc on garde $x=4$ .

$x=4$ et $z=3+4i$ . On retrouve le premier exercice. Sans la condition $x>0$ , les deux points $3+4i$ et $3-4i$ conviendraient : ils sont symétriques par rapport à l'axe des réels et à la même distance de l'origine.

Exercice 10 Choisir le bon argument dans un intervalle

★★★Environ 8 min

Un nombre complexe $z$ non nul a pour argument $\dfrac{\pi}{3}$ . Parmi tous ses arguments, détermine celui qui appartient à l'intervalle $[10\,;15]$ , en radians.

Indice 1

Tous les arguments s'écrivent $\frac{\pi}{3}+2k\pi$ avec $k$ entier relatif.

Indice 2

Encadre $\frac{\pi}{3}+2k\pi$ entre 10 et 15 pour trouver $k$ : prends $\pi\approx 3{,}14$ .

Voir la correction pas à pas

Tous les arguments de $z$ sont de la forme $\theta_k=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ . ¹
On veut $10\le \frac{\pi}{3}+2k\pi\le 15$ . Comme $\frac{\pi}{3}\approx 1{,}05$ , cela donne $8{,}95\le 2k\pi\le 13{,}95$ .
On divise par $2\pi\approx 6{,}28$ : $1{,}42\le k\le 2{,}22$ . Le seul entier est $k=2$ .
On calcule $\theta_2=\frac{\pi}{3}+4\pi=\frac{13\pi}{3}$ .

L'argument cherché est $\dfrac{13\pi}{3}\approx 13{,}614$ . Il est unique : deux arguments consécutifs sont écartés de $2\pi\approx 6{,}28$ , alors que l'intervalle $[10\,;15]$ a une longueur de 5 seulement, ce qui est trop court pour en contenir deux.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois ajouter ou retirer $\pi$ après avoir calculé un arctangente ?

Regarde le signe de la partie réelle $a$ . Si $a>0$ , l'arctangente de $\frac{b}{a}$ donne directement un argument. Si $a<0$ , il faut ajouter ou retirer $\pi$ : l'argument est alors $\arctan\frac{b}{a}+\pi$ ou $\arctan\frac{b}{a}-\pi$ , selon le signe de $b$ . Le plus sûr reste de vérifier le cosinus et le sinus, c'est-à-dire de situer le point dans son quadrant. Cette vérification évite l'erreur la plus fréquente.

Pourquoi un nombre complexe a-t-il plusieurs arguments mais un seul module ?

Le module est une longueur : la distance entre l'origine et le point associé, donc un seul réel positif. ¹ Un argument est une mesure d'angle, et un tour complet ramène au même vecteur : si $\theta$ convient, alors $\theta+2k\pi$ aussi, pour tout entier relatif $k$ . ¹ C'est pourquoi on écrit « à $2k\pi$ près » ou on précise l'intervalle demandé.

Le nombre 0 a-t-il un argument ?

Non. Le vecteur associé à 0 est nul : il n'a ni direction ni angle avec le demi-axe des réels. L'argument n'est défini que pour les nombres complexes non nuls, alors que le module existe pour tous, avec $|0|=0$ .

Sources

Cours des nombres complexes - L1 PEIP Mathématiques Générales, Université Aix-Marseille. Consulté le 6 novembre 2026.
Modulation du signal, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Modulation de fréquence, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 1 Module d'un nombre complexe simple

Exercice 2 Reconnaître un nombre de module 1

Exercice 3 Une distance entre deux points

Exercice 4 Périmètre d'un triangle

Exercice 5 Argument de 1 + i

Exercice 6 Argument dans le deuxième quadrant

Exercice 7 Argument dans le troisième quadrant

Exercice 8 Argument dans l'intervalle [0 ; 2π[

Exercice 9 Trouver une inconnue à partir du module

Exercice 10 Choisir le bon argument dans un intervalle

Les questions qu'on se pose

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