Mathématiques expertes (option) · Terminale

Nombres complexes et géométrie : cours de Terminale expertes

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un point $M$ ou un vecteur $\vec{w}$ est repéré par son affixe ; l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$ et la distance $AB$ vaut $|z_B-z_A|$ .
L'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ a pour mesure $\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ : quotient réel = points alignés, quotient imaginaire pur = angle droit.
Cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$ : $|z-z_\Omega|=r$ ; médiatrice de $[AB]$ : $|z-z_A|=|z-z_B|$ .
Écriture complexe : translation $z'=z+b$ , homothétie $z'-\omega=k(z-\omega)$ , rotation $z'-\omega=\mathrm{e}^{i\theta}(z-\omega)$ .
Toute transformation $z'=az+b$ avec $a\neq 0$ , $a\neq 1$ est une similitude directe de rapport $|a|$ et d'angle $\arg a$ , de centre $\dfrac{b}{1-a}$ .

Pourquoi lier complexes et géométrie

Dans ce chapitre, tu utilises les nombres complexes comme un outil de géométrie plane. Le programme présente en effet ces nombres à la fois comme des objets algébriques et comme des objets géométriques ¹. Tu connais déjà la forme algébrique $a+ib$ , le conjugué, le module, l'argument, ainsi que les formes trigonométrique et exponentielle. Il s'agit maintenant de les faire travailler sur des figures : calculer une longueur, prouver qu'un triangle est rectangle, décrire une rotation par une seule formule.

L'aspect géométrique est assez récent dans l'histoire. Il se développe à partir du XIXe siècle, avec l'abbé Buée et Jean-Robert Argand (d'où l'expression « plan d'Argand »), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy ³. On associe alors un nombre complexe à un point ou à un vecteur du plan, et les transformations du plan s'écrivent sous forme de transformations complexes ³. C'est exactement ce que tu vas faire dans ce cours.

L'intérêt est concret. Une rotation demande en géométrie classique un centre, un angle, une construction au rapporteur. Avec les complexes, elle devient une multiplication : un seul calcul remplace toute une figure. De même, « ces trois points sont alignés » ou « ce triangle est rectangle » deviennent des questions sur un quotient de deux nombres complexes.

Complexes et géométrie

Affixes
- Point
- Vecteur
- Milieu
Distances
- Module
- Cercle
- Médiatrice
Angles
- Argument
- Alignement
- Orthogonalité
Transformations
- Translation
- Rotation
- Similitude

Les outils du chapitre · Chaque branche correspond à une section du cours.

Affixe d'un point, d'un vecteur

Démonstration · Pourquoi $z_B-z_A$

Posons $z_A=x_A+iy_A$ et $z_B=x_B+iy_B$ . Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$ , donc son affixe est $(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)$ , c'est-à-dire $z_B-z_A$ . Les règles sur la somme et le produit par un réel viennent du fait que les parties réelle et imaginaire s'additionnent et se multiplient par $\lambda$ terme à terme.

Distances et module

Démonstration · Preuve

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A=(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)$ . Son module vaut $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ , qui est la formule de la distance dans un repère orthonormé.

Angles, alignement, orthogonalité

Le programme demande de déterminer le module et les arguments d'un nombre complexe non nul et d'en donner l'interprétation géométrique ¹. Pour un vecteur non nul d'affixe $z$ , un argument de $z$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec{u},\vec{w})$ : c'est l'angle dont tourne le vecteur unité de l'axe des réels pour pointer dans la direction de $\vec{w}$ .

Démonstration · Preuve

On a $(\vec{w}_1,\vec{w}_2)\equiv(\vec{u},\vec{w}_2)-(\vec{u},\vec{w}_1)\equiv\arg z_2-\arg z_1\ [2\pi]$ par la relation de Chasles pour les angles. Or $\arg\dfrac{z_2}{z_1}\equiv\arg z_2-\arg z_1\ [2\pi]$ . Pour les trois points, on applique le résultat aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ d'affixes $z_B-z_A$ et $z_C-z_A$ .

Démonstration · Pourquoi ces équivalences

Alignés : $\arg Z\equiv 0$ ou $\pi\ [2\pi]$ , ce qui signifie que $Z$ est réel. Perpendiculaires : $\arg Z\equiv\pm\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ , c'est-à-dire $Z$ imaginaire pur. Isocèle en $A$ : $AC=AB$ , soit $|z_C-z_A|=|z_B-z_A|$ , donc $|Z|=1$ . Équilatéral : on a de plus un angle de $\pm\dfrac{\pi}{3}$ en $A$ , donc $Z=\mathrm{e}^{\pm i\pi/3}$ .

Transformations et écriture complexe

Une transformation du plan associe à un point $M(z)$ un point $M'(z')$ . Son écriture complexe est la formule qui donne $z'$ en fonction de $z$ . Les nombres complexes se prêtent bien à ce travail : on peut interpréter la multiplication par un nombre complexe comme une transformation du plan. Pour un réel $\lambda$ , c'est une homothétie de centre $O$ et de rapport $\lambda$ ; pour un complexe de module 1, c'est une rotation de centre l'origine et d'angle son argument ³.

Démonstration · Pourquoi la formule de la rotation

Une rotation de centre $\Omega$ conserve les distances à $\Omega$ : $\Omega M'=\Omega M$ , donc $|z'-\omega|=|z-\omega|$ . Elle fait tourner de $\theta$ : $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})\equiv\theta$ , donc $\arg\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\equiv\theta$ . Le quotient $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module $1$ et pour argument $\theta$ : il vaut $\mathrm{e}^{i\theta}$ . Pour l'homothétie, $\overrightarrow{\Omega M'}=k\overrightarrow{\Omega M}$ donne directement $z'-\omega=k(z-\omega)$ .

Similitudes directes : $z'=az+b$

En composant une homothétie et une rotation de même centre, la multiplication par un nombre complexe $z\neq 0$ s'interprète comme une similitude directe de centre l'origine, de rapport $|z|$ et d'angle $\arg(z)$ ³. Cette idée se généralise à toute écriture $z'=az+b$ .

Démonstration · Preuve

Un point fixe vérifie $\omega=a\omega+b$ , soit $\omega(1-a)=b$ ; si $a\neq 1$ , la seule solution est $\omega=\dfrac{b}{1-a}$ . En retranchant $\omega=a\omega+b$ à $z'=az+b$ , on obtient $z'-\omega=a(z-\omega)$ . Donc $\Omega M'=|a|\,\Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})\equiv\arg a$ .

Transformations et écritures complexes
Transformation	Écriture complexe	Éléments
Translation	z' = z + b	Vecteur d'affixe b
Homothétie	z' − ω = k(z − ω)	Centre Ω(ω), rapport k
Rotation	z' − ω = e^(iθ)(z − ω)	Centre Ω(ω), angle θ
Similitude directe	z' = az + b	Centre b/(1 − a), rapport \|a\|, angle arg a

Transformations et écritures complexes · Dans les trois dernières lignes, a est différent de 1.

Méthode de résolution d'un problème

Beaucoup de problèmes de géométrie se traitent avec la même stratégie. Le passage d'une écriture à l'autre est au cœur de ce chapitre : on visualise le lien entre forme algébrique et forme trigonométrique d'un nombre complexe pour lire des longueurs et des angles ².

TraduireNommer les affixes des points de l'énoncé.
CalculerDifférences, quotients, modules ou arguments.
InterpréterRéel, imaginaire pur, module 1 : que dit le résultat ?
ConclureRédiger avec la propriété du cours citée.

Résoudre un problème de géométrie complexe · La même démarche vaut pour presque tous les exercices.

ExempleUn carré à partir de deux sommets

Soit $A(1)$ et $B(3+i)$ deux sommets consécutifs d'un carré direct $ABCD$ . Déterminer $C$ et $D$ .

$C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ? Non : dans un carré direct $ABCD$ , c'est $D$ qui est l'image de $B$ par cette rotation de centre $A$ . On a donc $z_D-z_A=i(z_B-z_A)=i(2+i)=-1+2i$ , d'où $z_D=0+2i$ .

Pour $C$ , on utilise $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ : $z_C=z_B+(z_D-z_A)=3+i-1+2i=2+3i$ .

Vérification : $AB=|2+i|=\sqrt5$ et $BC=|-1+2i|=\sqrt5$ ; $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=i$ , donc l'angle en $A$ est droit.

Exercices corrigés

Exercice 1 Distance entre deux points

★☆☆Environ 5 min

Dans le plan complexe, on considère $A(1+2i)$ et $B(4+6i)$ . Calculer la distance $AB$ .

Indice 1

La distance est le module de l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ : $z_B-z_A=(4+6i)-(1+2i)=3+4i$ .
On prend le module : $|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}$ .
On conclut : $AB=5$ .

Distance = module de l'affixe de $\overrightarrow{AB}$ ; ici $AB=5$ .

Exercice 2 Triangle rectangle isocèle et aire

★★☆Environ 10 min

On donne $A(1+i)$ , $B(3+2i)$ et $C(3i)$ .

Calculer $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ et en déduire la nature du triangle $ABC$ .
Calculer l'aire du triangle $ABC$ .

Indice 1

Écris les deux affixes de vecteurs puis multiplie le quotient par le conjugué du dénominateur.

Indice 2

Dans un triangle rectangle isocèle en $A$ , l'aire vaut $\dfrac12 AB^2$ .

Voir la correction pas à pas

On a $z_B-z_A=2+i$ et $z_C-z_A=-1+2i$ .
Quotient : $\dfrac{-1+2i}{2+i}=\dfrac{(-1+2i)(2-i)}{5}=\dfrac{5i}{5}=i$ .
Le quotient $i$ est imaginaire pur, donc $(AB)\perp(AC)$ ; son module est $1$ , donc $AB=AC$ . Le triangle est rectangle isocèle en $A$ .
Calcul de $AB^2=|2+i|^2=4+1=5$ .
Aire : $\dfrac12\times AB\times AC=\dfrac12\times 5=2{,}5$ .

Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ et son aire vaut $2{,}5$ unités d'aire.

Exercice 3 Image par une rotation

★★☆Environ 10 min

Soit $r$ la rotation de centre $\Omega(1+i)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ , et $M(3+i)$ . Déterminer l'affixe de $M'=r(M)$ puis donner sa partie imaginaire.

Indice 1

Écriture complexe : $z'-\omega=i(z-\omega)$ .

Indice 2

Commence par calculer $z-\omega$ .

Voir la correction pas à pas

Écriture complexe de $r$ : $z'-(1+i)=\mathrm{e}^{i\pi/2}\,(z-(1+i))=i\,(z-1-i)$ .
Avec $z=3+i$ : $z-1-i=2$ .
Donc $z'-(1+i)=2i$ , d'où $z'=1+3i$ .
La partie imaginaire de $z'$ est $3$ .

$M'$ a pour affixe $1+3i$ ; sa partie imaginaire est $3$ . On vérifie $\Omega M'=|2i|=2=\Omega M$ .

Exercice 4 Caractériser une similitude

★★★Environ 15 min

Soit $f$ la transformation d'écriture complexe $z'=(1+i)z+2$ .

Déterminer son point fixe $\Omega$ ; donner la partie imaginaire de son affixe.
Donner le rapport et l'angle de $f$ .
Calculer l'image du point $A(2i+2)$ .

Indice 1

Résous $z=(1+i)z+2$ .

Indice 2

Rapport et angle : module et argument de $1+i$ .

Voir la correction pas à pas

Point fixe : $z=(1+i)z+2 \iff z(1-(1+i))=2 \iff -iz=2 \iff z=\dfrac{2}{-i}=2i$ . Donc $\omega=2i$ , de partie imaginaire $2$ .
Rapport : $|1+i|=\sqrt2$ ; angle : $\arg(1+i)=\dfrac{\pi}{4}$ .
Image de $A(2+2i)$ : $z'=(1+i)(2+2i)+2=2+2i+2i+2i^2+2=4i+2$ , soit $2+4i$ .
Contrôle avec la forme $z'-\omega=(1+i)(z-\omega)$ : $(1+i)(2)+2i=2+4i$ .

$f$ est la similitude directe de centre $\Omega(2i)$ , de rapport $\sqrt2$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ ; elle envoie $A(2+2i)$ sur $2+4i$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir quelle formule utiliser pour un angle ?

Dès qu'on te demande un angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ , forme le quotient $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ et cherche son argument. Si on te demande seulement « alignés » ou « perpendiculaires », il suffit de savoir si ce quotient est réel ou imaginaire pur, sans calculer l'argument.

Quelle différence entre l'affixe d'un point et celle d'un vecteur ?

Un point $M$ a pour affixe $z_M$ ; un vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$ ¹. On peut traiter un point comme le vecteur $\overrightarrow{OM}$ : ils ont alors la même affixe. Pour éviter les confusions, écris toujours « arrivée moins départ ».

Comment trouver le centre d'une rotation à partir de $z'=az+b$ ?

Le centre est le point fixe : on résout $z=az+b$ , soit $\omega=\dfrac{b}{1-a}$ (si $a\neq 1$ ). Vérifie ensuite que $|a|=1$ pour que ce soit une rotation ; sinon c'est une similitude de rapport $|a|$ .

Pourquoi une multiplication par un complexe est-elle une transformation du plan ?

Multiplier par $z\neq 0$ revient à composer une homothétie de rapport $|z|$ et une rotation d'angle $\arg z$ , de centre l'origine : c'est une similitude directe ³. Les modules se multiplient et les arguments s'additionnent, ce qui se lit sur la figure comme un agrandissement suivi d'un quart de tour, par exemple.

Qu'est-ce qui tombe le plus souvent en contrôle ?

On retrouve surtout : montrer qu'un triangle est rectangle ou équilatéral avec un quotient, décrire un ensemble de points avec un module, et déterminer l'écriture complexe d'une rotation ou d'une similitude à partir d'un centre et d'un angle. Une phrase de conclusion qui nomme la propriété utilisée est attendue à chaque fois.

Sources

Ressources d'accompagnement – Mathématiques expertes Terminale, Éduscol – Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase – Nombres complexes et géométrie, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Nombre complexe, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Géométrie complexe, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Nombres complexes et géométrie : cours de Terminale expertes

L'essentiel

Pourquoi lier complexes et géométrie

Affixe d'un point, d'un vecteur

Distances et module

Angles, alignement, orthogonalité

Transformations et écriture complexe

Similitudes directes : $z'=az+b$

Méthode de résolution d'un problème

Exercices corrigés

Exercice 1 Distance entre deux points

Exercice 2 Triangle rectangle isocèle et aire

Exercice 3 Image par une rotation

Exercice 4 Caractériser une similitude

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur