Nombres complexes et géométrie : fiche de Terminale expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un nombre complexe z=x+iy a pour image le point M(x;y) du plan ; on dit que z est l'affixe de M1.
L'image du conjugué z est le symétrique de l'image de z par rapport à l'axe des abscisses.
Le module de z est la distance OM ; un argument de z est une mesure de l'angle entre l'axe des abscisses et OM.
Multiplier par un réel λ est une homothétie de centre O ; par un complexe de module 1, une rotation de centre O3.
Multiplier par z=0 combine les deux : rapport ∣z∣, angle arg(z)3.
Le plan complexe : image et affixe
Module et argument, côté géométrie
Un même nombre s'écrit sous forme algébrique x+iy ou sous forme trigonométrique r(cosθ+isinθ), avec r=∣z∣ et θ=arg(z). Savoir passer de l'une à l'autre, en s'aidant d'un dessin, est une compétence attendue 2.
Multiplier, c'est transformer le plan
Méthode et pièges
Questions flash
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Multiplier par un réel agrandit ou réduit les distances à l'origine dans le rapport λ : c'est une homothétie de centre O. La rotation demande un module égal à 1 et un angle donné par l'argument ; la translation correspond à une addition, pas à une multiplication.
Le rapport est le module ∣z∣, qui multiplie les distances ; l'argument donne l'angle. Confondre les deux est l'erreur classique.
∣3+4i∣=32+42=25=5. Donner 7 (somme des parties) oublie la racine carrée de la somme des carrés.
Faux : c'est une rotation de centre O, qui conserve les distances à O. Seule une multiplication par un module différent de 1 les modifie.
Le conjugué est 2−3i, d'image (2;−3), symétrique de (2;3) par rapport à l'axe des abscisses. (−2;3) serait le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Les questions qu'on se pose
Comment trouver l'argument d'un nombre complexe sans se tromper de quadrant ?
Place d'abord le point sur un croquis. Calcule le module, puis cherche un angle θ tel que cosθ=∣z∣x et sinθ=∣z∣y. Les deux conditions ensemble donnent le bon quadrant, ce que la tangente seule ne garantit pas.
À quoi servent les complexes en géométrie ?
Ils transforment des problèmes de rotation, d'agrandissement ou de distance en calculs algébriques : une multiplication ou une différence d'affixes remplace une construction 3. C'est l'objet des exercices de géométrie du programme 1.
Pourquoi un argument n'est-il pas unique ?
Un tour complet ramène au même point, donc ajouter 2π ne change pas la position. On donne un argument, souvent choisi dans ]−π;π].