Nombres complexes et géométrie : exercices corrigés de Terminale

On écrit l'affixe du vecteur : $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A = (-1+5i) - (2+i)$.

On calcule en séparant parties réelle et imaginaire : $-1-2 = -3$ et $5-1 = 4$, donc $z_{\overrightarrow{AB}} = -3+4i$.

La distance est le module : $AB = |-3+4i| = \sqrt{(-3)^2+4^2} = \sqrt{9+16}$.

On simplifie : $AB = \sqrt{25} = 5$.

On additionne les affixes : $z_A + z_B = (3-1) + (-2+6)i = 2 + 4i$.

On divise par 2 : $z_I = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.

On lit la partie imaginaire de $z_I$ : c'est 2.

Le point d'affixe $i$ est à 1 de l'origine sur l'axe des ordonnées : $|i| = 1$ et un argument de $i$ est $\dfrac{\pi}{2}$.

Comme $|i| = 1$, la multiplication par $i$ est la rotation de centre O d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.³

On calcule : $z_{A'} = i(3+2i) = 3i + 2i^2 = 3i - 2 = -2 + 3i$.

La partie réelle de $z_{A'}$ est $-2$.

Comme $-3$ est un réel, la multiplication par $-3$ est l'homothétie de centre O et de rapport $-3$.³

On calcule : $z_{A'} = -3(1+2i) = -3 - 6i$.

La partie imaginaire de $z_{A'}$ est $-6$.

Puisque $z_{A'} = -3\,z_A$, le vecteur $\overrightarrow{OA'}$ est égal à $-3\,\overrightarrow{OA}$ : les points O, A et A' sont alignés, O étant entre A et A'.

Le conjugué de $4-3i$ est $\overline{z_A} = 4+3i$, donc $z_B = 4+3i$.

A a pour coordonnées $(4\,;-3)$ et B $(4\,;3)$ : ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. L'image du conjugué est le symétrique de l'image du nombre par rapport à cet axe.¹

On calcule $z_B - z_A = (4+3i)-(4-3i) = 6i$.

La distance est le module : $AB = |6i| = 6$.

L'égalité de vecteurs $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ donne $z_B - z_A = z_C - z_D$.

On isole : $z_D = z_C - z_B + z_A = (5+5i) - (4+2i) + (1+i)$.

On calcule : partie réelle $5-4+1 = 2$, partie imaginaire $5-2+1 = 4$, donc $z_D = 2+4i$.

Le module est $|z_D| = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, soit environ $4{,}472$.

On calcule : $z_C - z_B = 2i$ et $z_A - z_B = -2$.

Le quotient vaut $\dfrac{2i}{-2} = -i$.

Son module est 1, donc $BC = BA$. Son argument est $-\dfrac{\pi}{2}$, donc les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont perpendiculaires.¹

Le triangle ABC est donc rectangle isocèle en B, avec $BA = BC = |{-2}| = 2$.

L'aire est $\dfrac{1}{2} \times BA \times BC = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.

Le module est $|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Le point d'affixe $1+i$ est sur la première bissectrice, donc un argument est $\dfrac{\pi}{4}$.

Le multiplicateur n'est ni réel ni de module 1 : c'est une similitude directe de centre O, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.³

On calcule $z_{A'} = (1+i)\times 4 = 4 + 4i$.

La distance OA' est $|4+4i| = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$, soit environ $5{,}657$.

On retrouve le rapport : $OA' = \sqrt{2}\times OA = \sqrt{2}\times 4$.

Le module est $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.

On divise : $1+i\sqrt{3} = 2\left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$, donc $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, ce qui donne $\theta = \dfrac{\pi}{3}$, soit $60$ degrés.

C'est la similitude directe de centre O, de rapport 2 et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.³

On a $z_{A'} = 1+i\sqrt{3}$, donc $OA = 1$ et $OA' = 2$.

On calcule $z_{A'} - z_A = i\sqrt{3}$, donc $AA' = \sqrt{3}$.

Les trois côtés mesurent 1, 2 et $\sqrt{3}$ : comme $1^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$, la réciproque du théorème de Pythagore montre que le triangle OAA' est rectangle en A.