Mathématiques expertes (option) · Terminale
Nombres complexes et géométrie : quiz de Terminale expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Un nombre complexe se représente par un point ou un vecteur du plan : cet aspect géométrique s'est développé à partir du XIXe siècle 3.
- Multiplier par un réel λ revient à faire une homothétie de centre O et de rapport λ 3.
- Multiplier par un complexe de module 1 revient à faire tourner le plan autour de l'origine, d'un angle égal à l'argument 3.
- Multiplier par un complexe z non nul agrandit ou réduit les distances à O dans le rapport |z| et tourne d'un angle arg(z) : c'est une similitude directe centrée en O 3.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur le point de vue géométrique des nombres complexes. Tu y travailles le lien entre un nombre complexe et un point ou un vecteur du plan, puis ce que devient une multiplication par un complexe quand on la regarde comme une transformation du plan. Le programme de Terminale en option mathématiques expertes insiste sur l'image d'un nombre complexe, l'image du conjugué, l'affixe d'un point ou d'un vecteur, et sur la détermination du module et des arguments d'un nombre complexe non nul 1.
Les questions supposent que tu connais déjà la forme algébrique, le conjugué, le module, l'argument, ainsi que la forme trigonométrique et la forme exponentielle. Passer d'une forme algébrique à une forme trigonométrique et inversement fait partie des gestes à visualiser graphiquement 2.
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Multiplier par un réel donne une homothétie centrée en , de rapport 3. Ici , donc les distances à l'origine sont triplées. La translation est la tentation fréquente, mais elle correspond à une addition de , pas à une multiplication. La rotation est fausse : multiplier par ne change pas la direction des points, seulement leur éloignement.
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Quand le module vaut 1, la multiplication fait tourner le plan autour de l'origine, et l'angle de rotation est l'argument du complexe 3. Comme , l'angle est . Répondre radian vient d'une confusion entre la partie imaginaire de et son argument. Répondre correspondrait à la multiplication par .
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Pour un complexe non nul , le rapport de la similitude est et son angle est 3. Pour , et . La réponse « rapport 2 et angle 0 » oublie que n'est pas un réel. La réponse « rapport 1 » oublie le facteur dans le module.
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Le rapport est le module du complexe 3. On calcule . L'erreur tentante est de répondre en additionnant et : le module n'est pas la somme des parties réelle et imaginaire, c'est la racine de la somme de leurs carrés.
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Le rapport vaut 3. Ici . Le signe moins devant ne change rien, puisque la partie imaginaire est élevée au carré. L'erreur fréquente est de répondre ou en calculant .
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Pour tout réel , la multiplication par est une homothétie de centre et de rapport 3. Le cas est permis : le rapport d'une homothétie peut être négatif, et cette transformation envoie chaque point sur son symétrique par rapport à . Croire qu'un rapport doit être positif est l'erreur à éviter ; la positivité concerne le rapport d'une similitude, pas celui d'une homothétie.
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La multiplication par un complexe de module 1 est une rotation autour de l'origine 3. Une rotation conserve les distances à son centre, donc le point image reste à la même distance de que le point de départ : le module est inchangé. Seul l'argument se modifie, d'une quantité égale à l'angle de la rotation. Dire « Faux » vient d'une confusion entre module et argument.
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Les nombres complexes, notés habituellement , peuvent être présentés sous des formes algébriques, polaires ou géométriques 3. La forme hexadécimale n'a aucun rapport : elle concerne l'écriture des entiers en base 16. En Terminale, la forme polaire correspond à la forme trigonométrique ou exponentielle, avec module et argument.
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C'est à partir du XIXe siècle, avec l'abbé Buée et Jean-Robert Argand, puis les travaux de Gauss et de Cauchy, que l'aspect géométrique se développe 3. Les nombres complexes servent plus tôt à résoudre des équations, ce qui explique la tentation de répondre XVIe, mais leur représentation dans le plan vient plus tard.
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L'affixe de est . Son module vaut , donc . L'erreur tentante est de calculer : le module est le même, mais l'affixe obtenu serait celui de . Une autre erreur est d'additionner au lieu de soustraire, ce qui donnerait un tout autre résultat.
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L'angle d'une telle similitude est 3. Le nombre est un réel négatif : il se trouve sur la demi-droite des réels négatifs, donc (modulo ), et son module est . Répondre revient à traiter comme un réel positif. Répondre confond l'argument, qui est un angle, avec la valeur du nombre.
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Multiplier par un complexe non nul, c'est enchaîner une homothétie et une rotation, ce qui donne une similitude directe centrée en , de rapport et d'angle 3. L'homothétie règle l'agrandissement, la rotation règle l'orientation. Les translations n'interviennent pas : elles correspondent à l'addition d'un complexe, pas à sa multiplication.
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La forme trigonométrique donne directement le module et l'argument : on lit ici et . Le rapport est et l'angle est 3. Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique est justement le geste qui permet de lire ces deux données 2. Inverser rapport et angle est l'erreur la plus courante. Le choix vient d'une mauvaise lecture de .
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une multiplication par un complexe est une rotation ou une similitude ?
Pourquoi passer par la forme trigonométrique pour interpréter une multiplication ?
Parce qu'elle donne d'un seul coup d'œil le module et l'argument, c'est-à-dire le rapport et l'angle de la transformation. Visualiser le passage entre forme algébrique et forme trigonométrique aide à relier le calcul au dessin dans le plan 2.
Quelle différence entre l'image d'un nombre complexe et son affixe ?
L'image d'un nombre complexe est le point (ou le vecteur) du plan qui le représente ; l'affixe d'un point ou d'un vecteur est, dans l'autre sens, le nombre complexe qui lui correspond 1. C'est la même correspondance, lue dans un sens ou dans l'autre.
Sources
- Ressources d'accompagnement – Mathématiques expertes Terminale, Éduscol – Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Édubase – Nombres complexes et géométrie, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Nombre complexe, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Géométrie complexe, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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