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Coefficients binomiaux et triangle de Pascal : cours de Terminale

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (« $k$ parmi $n$ ») est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.
Il se calcule par $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ et vérifie $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ , $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ .
Relation de Pascal : $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ ; elle construit le triangle ligne après ligne.
La ligne de rang $n$ du triangle donne les coefficients du développement de $(a+b)^n$ ; la somme de la ligne vaut $2^n$ .
Ces nombres interviennent dans la loi binomiale : c'est leur usage principal en Terminale.

Pourquoi s'intéresser à ces nombres ?

Dans un jeu de cartes, tu reçois une main de 5 cartes parmi 52. Combien de mains différentes peuvent exister ? L'ordre dans lequel tu reçois les cartes ne change pas ta main : on compte donc des groupes non ordonnés. Pour une main de 5 cartes dans un jeu de 52, on trouve 2 598 960 possibilités ³. Ce nombre est un coefficient binomial.

Ces coefficients sont au cœur des problèmes de dénombrement fréquents, et ils apparaissent aussi dans la définition de la loi binomiale en probabilités ³. Or, en Terminale, la loi binomiale est le but du chapitre : tu l'étudieras juste après la loi de Bernoulli et les successions d'épreuves indépendantes. Maîtriser les coefficients binomiaux, c'est donc se donner les moyens de calculer des probabilités du type « obtenir exactement $k$ succès en $n$ essais ».

Dans ce cours, tu vas :

définir précisément $\binom{n}{k}$ et le calculer ;
construire le triangle de Pascal et comprendre pourquoi il fonctionne ;
développer une puissance d'une somme grâce à lui ;
démontrer quelques propriétés utiles (symétrie, somme d'une ligne) ;
éviter les erreurs de calcul classiques.

Tu as déjà rencontré en combinatoire les listes, les arrangements et les combinaisons. Ici, on met ces idées en forme de formules et de tableau.

Définition et notation

Calculer un coefficient binomial

Démonstration · Pourquoi $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ (symétrie)

Choisir une partie à $k$ éléments dans un ensemble de $n$ éléments, c'est aussi choisir les $n-k$ éléments qu'on laisse de côté. À chaque partie à $k$ éléments correspond ainsi exactement une partie à $n-k$ éléments (son complémentaire), et réciproquement. Il y a donc autant de parties de chaque sorte :

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.$

Par la formule, on le voit aussi : $\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ ne change pas quand on échange $k$ et $n-k$ .

Le triangle de Pascal

Triangle de Pascal, lignes 0 à 7
n \ k	0	1	2	3	4	5	6	7
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1

Triangle de Pascal, lignes 0 à 7 · Chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus de lui.

Démonstration · Preuve de la relation de Pascal par dénombrement

Prenons un ensemble $E$ à $n+1$ éléments et fixons l'un d'eux, noté $x$ . Comptons les parties de $E$ à $k+1$ éléments. Il y en a $\binom{n+1}{k+1}$ . Séparons-les en deux familles disjointes :

celles qui contiennent $x$ : il faut encore choisir $k$ éléments parmi les $n$ autres, soit $\binom{n}{k}$ parties ;
celles qui ne contiennent pas $x$ : il faut choisir $k+1$ éléments parmi les $n$ autres, soit $\binom{n}{k+1}$ parties.

Le total est la somme : $\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$ .

Partir de la ligne connueRecopie la ligne de rang n.
Poser les bordsCommence et finis la nouvelle ligne par 1.
AdditionnerChaque nombre intérieur = somme des deux au-dessus.
ContrôlerVérifie la symétrie et la somme 2^(n+1).

Construire une ligne du triangle

La formule du binôme

Le triangle de Pascal sert souvent à développer une puissance d'une somme de deux termes : sur une même ligne, on trouve tous les coefficients nécessaires ⁴.

Démonstration · Deux preuves

Par la formule du binôme. On prend $a=b=1$ : $(1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$ , donc la somme vaut $2^n$ .

Par dénombrement. Pour chaque élément d'un ensemble à $n$ éléments, on décide de le garder ou non : cela fait $2\times 2\times\cdots\times 2=2^n$ façons de former une partie. Regroupées par taille $k$ , ces parties sont au nombre de $\binom{n}{k}$ ; on additionne pour $k$ de 0 à $n$ .

Contrôle sur la ligne 5 : $1+5+10+10+5+1=32=2^5$ .

Lien avec les probabilités et le Bac

Les coefficients binomiaux apparaissent dans la définition de la loi binomiale ³. Voici l'idée, qui sera développée au chapitre suivant. On répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve à deux issues (succès, échec), avec une probabilité $p$ de succès. Pour obtenir exactement $k$ succès, il faut d'abord choisir lesquels des $n$ essais sont des succès : il y a $\binom{n}{k}$ façons de le faire. Chacune a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$ . Ce raisonnement conduit à

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$

Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer et vérifier avec le triangle

★☆☆Environ 8 min

Calcule $\binom{6}{2}$ avec la formule.
Retrouve ce résultat à l'aide de la relation de Pascal et des lignes du triangle.

Indice 1

Écris $\binom{6}{2}=\dfrac{6\times5}{2\times1}$ .

Indice 2

La ligne 5 est $1,5,10,10,5,1$ .

Voir la correction pas à pas

On applique la formule : $\binom{6}{2}=\dfrac{6\times 5}{2\times 1}=\dfrac{30}{2}=15$ .
On utilise la relation de Pascal avec $n=5$ et $k=1$ : $\binom{6}{2}=\binom{5}{1}+\binom{5}{2}$ .
On lit sur la ligne 5 : $\binom{5}{1}=5$ et $\binom{5}{2}=10$ .
On additionne : $5+10=15$ . Les deux méthodes concordent.

On a $\binom{6}{2}=15$ par les deux méthodes ; ce double contrôle est un bon réflexe.

Exercice 2 Développer une puissance

★★☆Environ 12 min

Développe $(x+2)^4$ , puis donne le coefficient du terme en $x^2$ .

Indice 1

La ligne 4 du triangle est $1,4,6,4,1$ .

Indice 2

Ici $a=x$ et $b=2$ : n'oublie pas de mettre 2 à la bonne puissance.

Voir la correction pas à pas

On lit la ligne 4 : $1,4,6,4,1$ .
On écrit $(x+2)^4=x^4+4x^3\times 2+6x^2\times 2^2+4x\times 2^3+2^4$ .
On calcule : $4\times 2=8$ , $6\times 4=24$ , $4\times 8=32$ , $2^4=16$ .
On obtient $(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$ .
Le coefficient de $x^2$ est $\binom{4}{2}\times 2^2=6\times 4=24$ .

Le coefficient de $x^2$ vaut 24. Contrôle : en posant $x=1$ , on trouve $1+8+24+32+16=81=3^4$ .

Exercice 3 Former un comité

★★★Environ 15 min

Un club compte 5 filles et 7 garçons. On forme un comité de 4 personnes comprenant exactement 2 filles et 2 garçons. Combien de comités différents peut-on former ?

Indice 1

Choisis d'abord les filles, puis les garçons.

Indice 2

Deux choix indépendants : on multiplie.

Voir la correction pas à pas

Les choix de filles et de garçons sont indépendants.
Nombre de façons de choisir 2 filles parmi 5 : $\binom{5}{2}=\dfrac{5\times 4}{2}=10$ .
Nombre de façons de choisir 2 garçons parmi 7 : $\binom{7}{2}=\dfrac{7\times 6}{2}=21$ .
On multiplie : $10\times 21=210$ .

On peut former 210 comités distincts. L'ordre ne compte pas, d'où l'emploi des coefficients binomiaux.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser un coefficient binomial ?

Pose-toi deux questions : choisis-tu un groupe parmi un ensemble ? L'ordre est-il sans importance ? Si oui aux deux, $\binom{n}{k}$ convient. Si l'ordre compte (un classement, un code), il faut un autre raisonnement, car chaque groupe se présente alors sous plusieurs ordres.

Comment lire $\binom{n}{k}$ à voix haute ?

En français on dit « $k$ parmi $n$ », ce qui inverse l'ordre d'écriture ³. Ainsi $\binom{7}{3}$ se lit « 3 parmi 7 ». Cette inversion fait souvent saisir les nombres dans le mauvais ordre sur la calculatrice : vérifie toujours que $k\le n$ .

Pourquoi le triangle de Pascal fonctionne-t-il ?

À cause de la relation de Pascal ⁴. Pour former une partie à $k+1$ éléments dans un ensemble à $n+1$ éléments, on distingue deux cas : elle contient un élément fixé, ou non. La somme de ces deux cas donne exactement l'addition des deux nombres au-dessus dans le triangle.

Quel est le lien avec la loi binomiale ?

Dans la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès en $n$ épreuves, le coefficient $\binom{n}{k}$ compte les façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ essais ³. On multiplie ensuite par $p^k(1-p)^{n-k}$ . C'est la raison d'être de ce chapitre.

Dois-je connaître le triangle de Pascal par cœur ?

Non, mais tu dois savoir le reconstruire vite, au moins jusqu'à la ligne 6 ou 7 : on le bâtit par additions successives. Retiens aussi les repères $\binom{n}{0}=1$ , $\binom{n}{1}=n$ et la symétrie, qui évitent bien des calculs. Sur les sujets, la calculatrice reste autorisée pour les grandes valeurs.

Sources

Ressources d'accompagnement — Coefficients binomiaux et dénombrement, Éduscol. Consulté le 7 novembre 2026.
Activité pédagogique — Formule du binôme et triangle de Pascal, Académie de Strasbourg (site disciplinaire mathématiques). Consulté le 7 novembre 2026.
Coefficient binomial, Wikipédia. Consulté le 7 novembre 2026.
Triangle de Pascal, Wikipédia. Consulté le 7 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Calculer un coefficient binomial

Le triangle de Pascal

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Exercices corrigés

Exercice 1 Calculer et vérifier avec le triangle

Exercice 2 Développer une puissance

Exercice 3 Former un comité

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

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