Coefficients binomiaux et triangle de Pascal : exercices de Terminale

On écrit la ligne de rang 0 : $1$. Puis la ligne de rang 1 : $1\;1$.

Ligne de rang 2 : on garde les 1 aux bords et on additionne les deux termes de la ligne précédente : $1+1=2$. On obtient $1\;2\;1$.

Ligne de rang 3 : $1$, $1+2=3$, $2+1=3$, $1$. On obtient $1\;3\;3\;1$.

Ligne de rang 4 : $1\;4\;6\;4\;1$. Ligne de rang 5 : $1\;5\;10\;10\;5\;1$.

Ligne de rang 6 : $1$, $1+5=6$, $5+10=15$, $10+10=20$, $10+5=15$, $5+1=6$, $1$. On obtient $1\;6\;15\;20\;15\;6\;1$.

Le coefficient $\binom{6}{3}$ est le quatrième terme de cette ligne (le rang des colonnes commence à 0) : $\binom{6}{3}=20$.

Les délégués jouent le même rôle, donc choisir Léa puis Hugo revient à choisir Hugo puis Léa : l'ordre n'intervient pas.

Un choix est donc une partie à 2 éléments d'un ensemble à 5 éléments. Leur nombre est $\binom{5}{2}$.

On lit la ligne de rang 5 du triangle : $1\;5\;10\;10\;5\;1$. La colonne $k=2$ donne $10$.

Vérification par la formule : $\binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\times 4}{2}=10$.

Choisir 8 éléments parmi 10 revient à choisir les 2 éléments qu'on laisse de côté : $\binom{10}{8}=\binom{10}{2}$.

On calcule : $\binom{10}{2}=\dfrac{10\times 9}{2}=45$.

La justification tient dans la correspondance entre une partie et son complémentaire : à chaque partie de 8 éléments correspond une seule partie de 2 éléments, et réciproquement.

On écrit le développement : $(x+y)^5=a_0x^5+a_1x^4y+a_2x^3y^2+a_3x^2y^3+a_4xy^4+a_5y^5$, où les $a_i$ sont les termes de la ligne de rang 5 du triangle.

Cette ligne est $1\;5\;10\;10\;5\;1$.

Le terme $x^3y^2$ a pour coefficient $a_2$, soit $\binom{5}{2}=10$.

On peut aussi l'écrire en entier : $(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$.

Une main est une partie à 3 cartes de l'ensemble des 32 cartes : leur nombre est $\binom{32}{3}$. Le même raisonnement donne, pour 5 cartes dans un jeu de 52, un total de $2\,598\,960$ mains ³.

On écrit $\binom{32}{3}=\dfrac{32\times 31\times 30}{3\times 2\times 1}$.

On simplifie : $\dfrac{30}{3\times 2}=5$, donc le calcul devient $32\times 31\times 5$.

On calcule : $32\times 31=992$, puis $992\times 5=4\,960$.

La relation de Pascal affirme que $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ ³.

On prend $n=9$ et $k=3$ : les deux termes de gauche sont $\binom{9}{3}$ et $\binom{9}{4}$, et le terme de droite est $\binom{10}{4}$.

On additionne : $\binom{10}{4}=84+126=210$.

Contrôle : dans le triangle, $84$ et $126$ sont voisins sur la ligne de rang 9, et $210$ se trouve juste en dessous, entre eux.

La ligne de rang 4 est $1\;4\;6\;4\;1$. Donc $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

On remplace $a$ par $2x$ et $b$ par $1$ : $(2x+1)^4=(2x)^4+4(2x)^3+6(2x)^2+4(2x)+1$.

On calcule chaque puissance : $(2x)^4=16x^4$, $(2x)^3=8x^3$, $(2x)^2=4x^2$.

On obtient : $(2x+1)^4=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1$.

Le coefficient de $x^3$ est donc $4\times 8=32$.

Contrôle : en posant $x=1$, on doit trouver $3^4=81$ ; or $16+32+24+8+1=81$.

Un chemin est déterminé par les positions des succès parmi les 4 épreuves. Avoir exactement 3 succès, c'est choisir 3 positions sur 4 : on compte $\binom{4}{3}$ chemins.

On lit la ligne de rang 4 : $1\;4\;6\;4\;1$. Donc $\binom{4}{3}=4$. Les chemins sont SSSE, SSES, SESS et ESSS.

De même, il y a $\binom{4}{k}$ chemins à $k$ succès pour chaque $k$. Cette quantité intervient dans la définition de la loi binomiale ³, qui décrit le nombre de succès obtenus au cours de ces épreuves répétées.

Contrôle : chaque épreuve a 2 issues, donc il y a $2^4=16$ chemins au total. Et la ligne de rang 4 donne $1+4+6+4+1=16$.