Sommes de variables aléatoires : cours de Terminale spécialité

Dans de nombreuses situations, ce qui t'intéresse est un total : le nombre de piles sur dix lancers, la somme des points de deux dés, le gain cumulé sur plusieurs parties, le nombre de bonnes réponses à un questionnaire. Chacun de ces totaux est une somme de variables aléatoires, chaque variable décrivant un petit morceau de l'expérience.

Le programme de Terminale met en avant l'étude de la succession d'un nombre quelconque d'épreuves, en exprimant les épreuves de Bernoulli à l'aide de variables aléatoires, ce qui conduit à la notion de variables aléatoires indépendantes ². Ce chapitre s'appuie donc directement sur ce que tu connais déjà : la succession d'épreuves indépendantes, la loi de Bernoulli et la loi binomiale.

Le gain pratique est considérable. Le programme précise que la linéarité de l'espérance permet de déterminer l'espérance d'une variable aléatoire sans avoir à déterminer sa loi ². Autrement dit, au lieu de dresser un tableau de probabilités parfois énorme, tu découpes le problème en morceaux simples et tu additionnes.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• définir la somme de deux variables aléatoires ;
• utiliser la linéarité de l'espérance ;
• décomposer une variable compliquée en somme de variables simples ;
• retrouver l'espérance d'une loi binomiale ;
• éviter les erreurs classiques sur l'indépendance.

Le tableau ci-dessus vient d'un simple dénombrement : sur les 36 couples équiprobables $(x\,;y)$, il y en a 6 dont la somme vaut 7, mais un seul dont la somme vaut 2. Construire la loi de $S$ demande déjà un travail pour deux dés ; avec dix dés, le tableau serait impraticable. C'est exactement pour cela que l'on cherche une méthode qui évite de passer par la loi de la somme.

Ce résultat se lit ainsi : l'espérance d'une somme est la somme des espérances, et un facteur constant sort de l'espérance. Remarque capitale : l'énoncé du programme ne pose aucune condition sur $X$ et $Y$ autre que de vivre sur le même univers ². En particulier, il n'est pas nécessaire que $X$ et $Y$ soient indépendantes.

Cette propriété se généralise à une somme de $n$ variables : $E(X_1+X_2+\dots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n)$. Par récurrence, c'est une conséquence directe du cas de deux variables.

La compétence attendue au programme est de représenter une variable comme somme de variables aléatoires plus simples, puis de calculer son espérance en utilisant la linéarité ². C'est une vraie méthode de résolution, très utile dans les exercices de probabilités.

Le choix de la décomposition dépend du problème. Le cas le plus fréquent est celui des variables indicatrices : $X_i$ vaut 1 si un événement $A_i$ se produit et 0 sinon. Une telle variable suit une loi de Bernoulli de paramètre $p_i=P(A_i)$, et son espérance vaut

$E(X_i)=0\times(1-p_i)+1\times p_i=p_i.$

L'espérance d'un nombre de réalisations d'événements est alors la somme de leurs probabilités.

Le programme présente la succession d'épreuves de Bernoulli en termes de variables aléatoires indépendantes, l'indépendance étant prise au sens d'indépendance mutuelle ². C'est le cadre naturel de la loi binomiale.

Quand on répète $n$ fois une même expérience et qu'on additionne les résultats, on obtient une somme $S_n$. En la divisant par $n$, on obtient la moyenne de l'échantillon $M_n=\frac{S_n}{n}$. Par linéarité, si chaque $X_i$ a pour espérance $m$, alors

$E(M_n)=\frac1n\,E(S_n)=\frac1n\times nm=m.$

La moyenne de l'échantillon a donc, en moyenne, la même valeur que l'espérance d'une seule épreuve. Pourtant, sur un échantillon donné, $M_n$ n'est presque jamais égale exactement à $m$ : elle fluctue. Une ressource Éduscol de première propose d'observer, avec une simulation de loterie, comment fluctuent les moyennes d'échantillons ¹.

Le programme de Terminale annonce que ce phénomène est précisé par une inégalité de concentration pour la moyenne d'un échantillon, qui justifie l'apparition du facteur $\frac1n$ en théorie de l'estimation ². Il demande en particulier de calculer la probabilité de l'événement $|S_n-pn|>\sqrt n$, lorsque $S_n$ suit une loi binomiale ². Cette écriture compare le nombre de succès observé $S_n$ à sa valeur moyenne $pn$.

Divisons par $n$ : l'événement $|S_n-pn|>\sqrt n$ équivaut à $\left|\frac{S_n}{n}-p\right|>\frac{1}{\sqrt n}$, c'est-à-dire que la fréquence de succès s'écarte de $p$ de plus de $\frac{1}{\sqrt n}$, un écart qui rétrécit quand $n$ grandit. Tu retrouves l'idée de fluctuation d'échantillonnage vue en Première.

En Terminale spécialité, tu travailles avec des variables discrètes (loi binomiale, lois données par un tableau) ; les variables à densité ne font pas partie du programme de spécialité. La linéarité de l'espérance reste vraie quand on mélange les deux familles. Les cours d'enseignement supérieur s'intéressent d'ailleurs à des questions comme l'espérance de la somme d'une variable discrète et d'une variable à densité ³.

Pour toi, retiens simplement ceci : la somme d'une variable discrète et d'une variable à densité a bien une espérance obtenue en additionnant les deux espérances, tant que chacune existe. Le calcul de la loi d'une telle somme, lui, relève de techniques hors programme.