Sommes de variables aléatoires : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire 4.
Linéarité de l'espérance : E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(aX)=aE(X)2.
Cette égalité sert à calculer une espérance sans connaître la loi de la somme 2.
Méthode : écrire la variable compliquée comme somme de variables plus simples, calculer chaque espérance, additionner 2.
Pour une loi binomiale, on additionne n variables de Bernoulli : l'espérance vaut np.
Ce qu'il faut savoir avant de sommer
Cette fiche porte sur une idée simple : quand une variable aléatoire est compliquée, on la découpe en morceaux faciles, puis on additionne les résultats. Elle suppose connues la loi de Bernoulli, la loi binomiale et la succession d'épreuves indépendantes.
Linéarité de l'espérance
Méthode : décomposer en variables simples
Pièges et lien avec la suite
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Par linéarité, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3+5=82. La réponse 15 confond somme et produit. La dernière est fausse : l'additivité évite justement de connaître la loi de la somme 2.
Vrai : E(aX)=aE(X)2, donc E(3X)=3×4=12. L'erreur tentante 43=64 confond multiplication par a et puissance.
Chaque lancer a pour espérance 3,5. Par additivité 2, E(T)=10×3,5=35. Chercher la loi de T serait très long et inutile pour l'espérance.
Chaque variable de Bernoulli a pour espérance p=0,3 ; la somme de 20 d'entre elles donne 20×0,3=6. La réponse 14 correspond à n(1−p), le nombre moyen d'échecs, ce qui n'est pas ce que compte S.
Les questions qu'on se pose
Faut-il que les variables soient indépendantes pour additionner les espérances ?
Pour l'espérance, la propriété du programme s'écrit E(X+Y)=E(X)+E(Y) sans condition d'indépendance 2. L'indépendance sert pour d'autres résultats, notamment quand on étudie la succession d'épreuves 2. Dans un exercice, vérifie donc que les variables sont bien définies sur la même expérience, puis applique l'additivité.
À quoi sert d'écrire une variable comme somme de variables plus simples ?
Cela permet de calculer une espérance sans déterminer la loi de la variable compliquée 2. C'est la méthode utilisée pour trouver l'espérance d'une loi binomiale : on additionne n variables de Bernoulli qui valent chacune 0 ou 1, d'espérance p. Au Bac, cette idée sert aussi à préparer les inégalités de concentration.
Comment savoir si je dois utiliser la linéarité plutôt que la loi complète ?
Si on te demande seulement une espérance et que la variable compte un total (succès, points, gains), pense à la décomposition. Si on te demande une probabilité précise comme P(X+Y=7), il faut en revanche la loi de la somme.