Sommes de variables aléatoires : exercices corrigés de Terminale

La loi de $X$ est uniforme sur $\{1;2;3;4;5;6\}$, chaque valeur ayant la probabilité $\frac16$.

$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3{,}5$.

$Y$ a la même loi que $X$, donc $E(Y)=3{,}5$.

Par linéarité, $E(S)=E(X)+E(Y)=3{,}5+3{,}5=7$.

On écrit $E(Z)=E(3X)+E(-2Y)+E(5)$ par linéarité.²

Avec $E(aX)=aE(X)$ : $E(3X)=3\times4=12$ et $E(-2Y)=-2\times1{,}5=-3$.

Une constante a pour espérance elle-même : $E(5)=5$.

$E(Z)=12-3+5=14$.

Les variables sont indépendantes et uniformes : chacun des $16$ couples $(x\,;y)$ a pour probabilité $\frac1{16}$.

Les couples de somme $5$ sont $(1\,;4)$, $(2\,;3)$, $(3\,;2)$, $(4\,;1)$ : il y en a $4$.

$P(S=5)=\frac{4}{16}=\frac14$.

Loi de $S$ : $P(S=2)=P(S=8)=\frac1{16}$, $P(S=3)=P(S=7)=\frac2{16}$, $P(S=4)=P(S=6)=\frac3{16}$, $P(S=5)=\frac4{16}$.

Par la loi : $E(S)=\frac{2\times1+3\times2+4\times3+5\times4+6\times3+7\times2+8\times1}{16}=\frac{80}{16}=5$.

Par linéarité : $E(X)=\frac{1+2+3+4}{4}=2{,}5$, donc $E(S)=2{,}5+2{,}5=5$.

$S$ compte le nombre de succès parmi les $5$ épreuves ; comme les épreuves sont indépendantes, $S$ suit la loi binomiale de paramètres $5$ et $0{,}3$.

Chaque $X_i$ vaut $1$ avec la probabilité $0{,}3$ : $E(X_i)=1\times0{,}3+0\times0{,}7=0{,}3$.

Par linéarité, $E(S)=5\times0{,}3=1{,}5$.²

$P(S=2)=\binom52\times0{,}3^2\times0{,}7^3$.

$\binom52=10$, $0{,}3^2=0{,}09$ et $0{,}7^3=0{,}343$, donc $P(S=2)=10\times0{,}09\times0{,}343=0{,}3087$.

$E(X)=3{,}5$ (dé équilibré, voir le premier exercice).

$Y$ vaut $2$ avec la probabilité $\frac12$ et $0$ sinon : $E(Y)=2\times\frac12=1$.

Par linéarité, $E(G)=E(X)+E(Y)-4=3{,}5+1-4$.²

$E(G)=0{,}5$.

$X$ compte les boules rouges : $X=R_1+R_2+R_3$. C'est la décomposition d'une variable en somme de variables plus simples.²

$P(R_1=1)=\frac4{10}$. Par symétrie, chaque position a autant de chances de porter une boule rouge : $P(R_2=1)=P(R_3=1)=\frac4{10}$.

Chaque $R_i$ a donc pour espérance $\frac4{10}=0{,}4$.

Par linéarité, $E(X)=3\times0{,}4=1{,}2$.

Indépendance : $P(R_1=1\text{ et }R_2=1)=\frac4{10}\times\frac39=\frac{2}{15}$, alors que $P(R_1=1)\times P(R_2=1)=0{,}4\times0{,}4=0{,}16$. Ces nombres diffèrent, donc $R_1$ et $R_2$ ne sont pas indépendantes.

On pose $N=A_1+A_2+\dots+A_8$, avec $A_i=1$ si la personne $i$ retrouve son chapeau et $0$ sinon.

Par symétrie, chacun des $8$ chapeaux a la même probabilité d'aller à la personne $i$ : $P(A_i=1)=\frac18$.

Donc $E(A_i)=\frac18$ pour tout $i$.

Par linéarité, $E(N)=8\times\frac18=1$.²

On note $X_i=1$ si le composant $i$ est défectueux, $0$ sinon : $S_n=X_1+\dots+X_n$, somme de variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}04$.²

Chaque $X_i$ a pour espérance $0{,}04$, donc par linéarité $E(S_n)=0{,}04\,n$.

On veut $0{,}04\,n\geqslant 10$, soit $n\geqslant \frac{10}{0{,}04}=250$.

Le plus petit entier convenable est $n=250$.