Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac
Sommes de variables aléatoires : quiz de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- L'espérance d'une somme est la somme des espérances : , sans condition d'indépendance. 2
- Pour un coefficient , . 2
- Pour calculer une espérance, on cherche souvent à écrire la variable comme somme de variables plus simples, par exemple des variables de Bernoulli. 2
- Avec variables de Bernoulli de paramètre , la somme a pour espérance et la moyenne a pour espérance .
Avant de commencer
Ce quiz couvre l'outil central du chapitre : l'espérance d'une somme de variables aléatoires. Tu y travailleras la linéarité de l'espérance, l'écriture d'une variable comme somme de variables plus simples, le calcul de l'espérance d'un nombre de succès, et le passage de la somme à la moyenne . Les questions sont de trois sortes : choix unique ou multiple, vrai ou faux, et calculs numériques à compléter.
Prends un brouillon pour les calculs. Lis chaque explication, même quand ta réponse est juste : elle indique aussi pourquoi l'erreur la plus fréquente est fausse. Si tu hésites sur la loi binomiale ou sur l'indépendance d'épreuves successives, relis d'abord ces deux chapitres.
Rappels utiles
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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La linéarité de l'espérance donne pour toutes variables aléatoires. 2 Le produit est une confusion avec la probabilité de deux événements indépendants. Ajouter une condition d'indépendance est l'erreur tentante : la propriété n'en demande pas.
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La linéarité donne . 2 Écrire revient à confondre multiplier la variable et lui ajouter une constante. Le carré apparaît dans une autre situation, celle de la variance, qui ne se calcule pas comme l'espérance.
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C'est faux : la linéarité permet de calculer l'espérance d'une somme sans connaître sa loi. 2 Il suffit de connaître et . Beaucoup d'élèves pensent qu'il faut tout recalculer parce que la somme semble être une variable « nouvelle », mais c'est précisément ce que la propriété évite.
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Par linéarité, . 2 L'erreur tentante est d'oublier le coefficient devant et d'obtenir . Le coefficient multiplie bien l'espérance de .
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La somme est et chaque terme a pour espérance . Par additivité, . 2 Il serait très long de chercher la loi de ; on évite ce travail grâce à la décomposition. Prendre est une confusion avec un produit.
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Chaque variable de Bernoulli a pour espérance . En additionnant fois ce nombre, on obtient , par linéarité. 2 La réponse est l'espérance d'un seul terme, pas de la somme. Ajouter et n'a aucun sens ici car est un produit : on additionne termes égaux à .
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Le nombre de boules rouges est la somme de cinq variables de Bernoulli de paramètre . L'espérance vaut . 2 L'erreur tentante est de répondre , qui est la probabilité d'un seul tirage.
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Chaque lancer donne une variable de Bernoulli de paramètre . La somme des vingt variables a pour espérance . 2 Cela ne signifie pas qu'on obtient toujours exactement dix « pile » : c'est une valeur moyenne.
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Les trois affirmations vraies sont des conséquences directes de la linéarité de l'espérance. 2 La troisième est fausse : une somme d'espérances n'est pas un produit. Les élèves qui la cochent confondent avec les calculs de probabilités d'événements indépendants.
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C'est vrai : une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue de l'expérience. 4 Le nom prête à confusion, car on peut croire à une « variable » au sens usuel. Voir la variable comme une fonction explique que l'on puisse additionner deux variables et obtenir une nouvelle variable, issue par issue.
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En retranchant la constante à , on obtient par linéarité. 2 La variable a pour espérance . Multiplier ou diviser par ne ramène jamais l'espérance à puisque et .
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On a , donc en utilisant avec . 2 La réponse est l'espérance de la somme, pas de la moyenne. Le résultat vient d'une division appliquée deux fois.
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Le programme présente une propriété de concentration pour la moyenne d'un échantillon, qui justifie le facteur en théorie de l'estimation. 2 On étudie la probabilité que dépasse un seuil proportionnel à . 2 La moyenne se rapproche de avec une forte probabilité, mais elle n'est pas toujours égale à : c'est l'erreur tentante de la troisième proposition.
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Par additivité, . 2 L'erreur fréquente consiste à multiplier la constante par et à trouver : le coefficient ne porte que sur .
Les questions qu'on se pose
Faut-il que les variables soient indépendantes pour additionner les espérances ?
Pourquoi décomposer une variable en somme de variables plus simples ?
Parce que chaque petite variable a une loi facile et une espérance immédiate, alors que la loi de la somme peut être longue à établir. La décomposition permet de calculer l'espérance sans déterminer cette loi. 2 Le nombre de succès en épreuves se traite ainsi : espérance .
Que faire si un calcul numérique du quiz ne tombe pas juste ?
Reviens à la décomposition en somme, vérifie les coefficients devant chaque espérance, puis recompte le nombre de termes. Les deux erreurs les plus fréquentes sont d'oublier un coefficient et de confondre l'espérance d'un terme avec celle de la somme.
Sources
- Programmes et ressources en mathématiques — voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Programme de spécialité mathématiques Terminale (annexe), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Variables aléatoires à densité : caractéristiques, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
- Notions fondamentales de la théorie des probabilités, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
- Convergence de variables aléatoires, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Variable aléatoire à densité, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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