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Bases et repères de l'espace : cours de Terminale spécialité

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une base de l'espace est un triplet de vecteurs non coplanaires ; tout vecteur s'y décompose de façon unique, ce qui donne ses coordonnées $(x\,;y\,;z)$ .
Un repère est un point origine $O$ associé à une base ³ ; les coordonnées d'un point $M$ sont celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$ .
Pour $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ : $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;y_B-y_A\,;z_B-z_A)$ , et le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées les moyennes.
Les calculs se font coordonnée par coordonnée ; la distance par la racine d'une somme de carrés n'est valable que dans un repère orthonormé ³.
Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres : c'est le test qui sépare une base d'un triplet inutilisable.

Pourquoi repérer l'espace ?

Dans le plan, tu sais situer un point avec deux nombres : une abscisse et une ordonnée. Dans l'espace, deux nombres ne suffisent plus : un point peut être plus haut ou plus bas, plus près ou plus loin. Il en faut trois. Ce chapitre explique comment on les obtient et comment on calcule avec.

Un repère permet d'identifier chaque point d'une droite, d'un plan ou d'un espace par une liste de coordonnées ; ce procédé est le fondement de la géométrie analytique, où l'on étudie des transformations géométriques par leur expression ³. Les ressources d'accompagnement du programme placent d'ailleurs ce thème sous l'intitulé « Bases et repères de l'espace », avec la décomposition d'un vecteur sur une base ².

Concrètement, tu vas apprendre à :

reconnaître trois vecteurs qui forment une base ;
décomposer un vecteur et lire ses coordonnées ;
repérer un point grâce à un repère ;
calculer des coordonnées de vecteurs, de milieux, de longueurs ;
vérifier si des vecteurs sont coplanaires.

Les vecteurs coplanaires et la notion de base

Pourquoi exiger la non-coplanarité ? Imagine trois vecteurs posés sur une même feuille de papier. Quelles que soient leurs combinaisons, tu ne sortiras jamais de la feuille : tu ne pourras pas atteindre un point situé au-dessus. Pour couvrir tout l'espace, il faut que l'un des trois vecteurs fasse sortir du plan des deux autres.

Décomposer un vecteur : les coordonnées dans une base

Démonstration · Pourquoi l'unicité ?

Supposons que $\vec u = x\vec i+y\vec j+z\vec k = x'\vec i+y'\vec j+z'\vec k$ . En soustrayant, on obtient

$(x-x')\vec i+(y-y')\vec j+(z-z')\vec k=\vec 0.$

Si l'un des coefficients, par exemple $z-z'$ , était non nul, on pourrait écrire $\vec k=-\dfrac{x-x'}{z-z'}\vec i-\dfrac{y-y'}{z-z'}\vec j$ . Alors $\vec k$ serait une combinaison de $\vec i$ et $\vec j$ , donc coplanaire avec eux : contradiction avec le fait que $(\vec i,\vec j,\vec k)$ est une base. Les trois coefficients sont donc nuls : $x=x'$ , $y=y'$ , $z=z'$ .

Cette unicité est ce qui rend les coordonnées utiles : un vecteur a une seule liste de coordonnées dans une base donnée, et inversement une liste de trois réels définit un seul vecteur. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales, une à une.

Du vecteur au point : le repère de l'espace

Le repère joue donc le rôle d'un système de repérage : à chaque point correspond un triplet de réels, et à chaque triplet un point. C'est ce qui permet d'identifier un point par une liste de coordonnées ³.

Choisir OPlacer l'origine du repère.
Choisir la baseTrois vecteurs non coplanaires.
Écrire OMDécomposer sur i, j, k.
Lire (x ; y ; z)Ce sont les coordonnées de M.

Du point à ses coordonnées · Les coordonnées de M sont celles du vecteur OM.

Calculs dans un repère : vecteur AB, milieu, alignement

Démonstration · Preuve

D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ . Comme $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ ont pour coordonnées celles de $A$ et de $B$ , la différence se calcule coordonnée par coordonnée.

Coplanarité par les coordonnées

Repère orthonormé et longueurs

Démonstration · Pourquoi cette formule

Prenons $\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ et un point $M$ tel que $\overrightarrow{OM}=\vec u$ . Soit $P$ le point tel que $\overrightarrow{OP}=x\vec i+y\vec j$ . Comme $\vec i$ et $\vec j$ sont orthogonaux et de norme 1, le théorème de Pythagore dans le plan donne $OP^2=x^2+y^2$ . Le vecteur $\overrightarrow{PM}=z\vec k$ est orthogonal à $\overrightarrow{OP}$ , car $\vec k$ est orthogonal à $\vec i$ et à $\vec j$ . Pythagore dans le triangle $OPM$ rectangle en $P$ donne $OM^2=OP^2+PM^2=x^2+y^2+z^2$ .

Méthode complète et erreurs à éviter

ExempleExemple rédigé sur un cube

Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête 1 et le repère orthonormé $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ . On a alors $A(0\,;0\,;0)$ , $B(1\,;0\,;0)$ , $D(0\,;1\,;0)$ , $E(0\,;0\,;1)$ , $C(1\,;1\,;0)$ et $G(1\,;1\,;1)$ .

Montrons que le milieu $I$ de $[AG]$ est aussi le milieu de $[CE]$ . Pour $[AG]$ : $I\left(\frac12;\frac12;\frac12\right)$ . Pour $[CE]$ avec $C(1;1;0)$ et $E(0;0;1)$ : $\left(\frac{1+0}{2};\frac{1+0}{2};\frac{0+1}{2}\right)=\left(\frac12;\frac12;\frac12\right)$ . Les deux milieux coïncident : les diagonales $[AG]$ et $[CE]$ se coupent en leur milieu.

Longueur de la diagonale : $AG=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3$ .

Repères de l'espace

Base
- 3 vecteurs
- non coplanaires
- ordre
Repère
- origine O
- + une base
- coordonnées
Calculs
- AB = B - A
- milieu
- colinéarité
Orthonormé
- norme 1
- orthogonaux
- distance

Bases et repères : l'essentiel · Les idées clés du chapitre.

Exercices corrigés

Exercice 1 Vecteur, milieu et distance

★☆☆Environ 8 min

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec i,\vec j,\vec k)$ , on donne $A(1\,;2\,;3)$ et $B(4\,;-2\,;5)$ .

Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ .
Détermine les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ .
Calcule la distance $AB$ .

Indice 1

Pour le vecteur, soustrais les coordonnées de A à celles de B.

Indice 2

La distance utilise la racine de la somme des carrés des coordonnées de AB, car le repère est orthonormé.

Voir la correction pas à pas

$\overrightarrow{AB}(4-1\,;-2-2\,;5-3)=(3\,;-4\,;2)$ .
Le milieu a pour coordonnées $\left(\frac{1+4}{2};\frac{2-2}{2};\frac{3+5}{2}\right)=\left(\frac52;0;4\right)$ .
Le repère étant orthonormé, $AB=\sqrt{3^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}$ .
Valeur approchée : $AB\approx5{,}39$ .

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(3\,;-4\,;2)$ , le milieu est $\left(\frac52;0;4\right)$ et $AB=\sqrt{29}$ .

Exercice 2 Coordonnées d'une combinaison linéaire

★☆☆Environ 6 min

Dans une base $(\vec i,\vec j,\vec k)$ , on donne $\vec u(2\,;-1\,;3)$ et $\vec v(1\,;4\,;-2)$ . Calcule les coordonnées de $\vec w=3\vec u-2\vec v$ , puis donne sa cote (troisième coordonnée).

Indice 1

Multiplie chaque vecteur par son coefficient avant de soustraire.

Indice 2

Travaille coordonnée par coordonnée.

Voir la correction pas à pas

$3\vec u$ a pour coordonnées $(6\,;-3\,;9)$ .
$2\vec v$ a pour coordonnées $(2\,;8\,;-4)$ .
$\vec w=3\vec u-2\vec v$ a pour coordonnées $(6-2\,;-3-8\,;9-(-4))=(4\,;-11\,;13)$ .
La cote de $\vec w$ vaut donc $13$ .

On obtient $\vec w(4\,;-11\,;13)$ . Attention au signe : soustraire $-4$ revient à ajouter $4$ .

Exercice 3 Trois vecteurs forment-ils une base ?

★★☆Environ 12 min

Dans une base de l'espace, on considère $\vec u(1\,;2\,;0)$ , $\vec v(0\,;1\,;1)$ et $\vec w(2\,;5\,;x)$ où $x$ est un réel.

Vérifie que $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires.
Détermine la valeur de $x$ pour laquelle $(\vec u,\vec v,\vec w)$ n'est pas une base.
Que se passe-t-il pour les autres valeurs de $x$ ?

Indice 1

Écris $\vec w=a\vec u+b\vec v$ et traduis en système.

Indice 2

La première coordonnée donne $a$ , la deuxième donne $b$ ensuite.

Voir la correction pas à pas

Si $\vec v=\lambda\vec u$ , la première coordonnée donnerait $0=\lambda$ puis $1=0$ pour la deuxième : impossible, donc non colinéaires.
On cherche $a,b$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$ : $a=2$ , $2a+b=5$ , $b=x$ .
Avec $a=2$ , la deuxième équation donne $b=1$ .
La troisième équation impose alors $x=b=1$ .
Pour $x=1$ , $\vec w=2\vec u+\vec v$ : les vecteurs sont coplanaires, ce n'est pas une base. Pour $x\neq1$ , le système n'a pas de solution : les vecteurs sont non coplanaires et forment une base.

Le triplet n'est pas une base uniquement pour $x=1$ ; dans tous les autres cas, c'est une base.

Exercice 4 Une boîte dans un repère

★★★Environ 15 min

Un parallélépipède rectangle $OABCDEFG$ a pour dimensions $OA=10$ , $OC=5$ et $OD=3$ . On munit l'espace du repère orthonormé $(O\,;\vec i,\vec j,\vec k)$ avec $\vec i=\frac{1}{10}\overrightarrow{OA}$ , $\vec j=\frac15\overrightarrow{OC}$ et $\vec k=\frac13\overrightarrow{OD}$ . Le sommet $F$ est opposé à $O$ .

Donne les coordonnées de $A$ , $C$ , $D$ et $F$ .
Calcule la longueur de la diagonale $OF$ .
Détermine les coordonnées du centre de la boîte (milieu de $[OF]$ ).

Indice 1

Chaque coordonnée d'un point se lit comme la distance à parcourir le long de l'axe correspondant.

Indice 2

Le centre d'un parallélépipède est le milieu d'une grande diagonale.

Voir la correction pas à pas

$\overrightarrow{OA}=10\vec i$ , donc $A(10\,;0\,;0)$ ; de même $C(0\,;5\,;0)$ et $D(0\,;0\,;3)$ .
$F$ est opposé à $O$ : $\overrightarrow{OF}=10\vec i+5\vec j+3\vec k$ , donc $F(10\,;5\,;3)$ .
Le repère étant orthonormé, $OF=\sqrt{10^2+5^2+3^2}=\sqrt{134}\approx11{,}58$ .
Le milieu de $[OF]$ a pour coordonnées $\left(\frac{10}{2};\frac52;\frac32\right)=\left(5\,;\frac52;\frac32\right)$ .

La diagonale mesure $\sqrt{134}$ et le centre est le point $\left(5;\frac52;\frac32\right)$ .

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre une base et un repère ?

Une base est un triplet de vecteurs non coplanaires : elle sert à décomposer des vecteurs. Un repère ajoute un point, l'origine : il sert à placer des points ³. Les coordonnées d'un vecteur se lisent dans une base, celles d'un point dans un repère.

À quoi servent les coordonnées dans l'espace ?

Elles transforment un problème de géométrie en calcul. Comme le repère permet d'étudier des transformations géométriques par leur expression ³, on peut démontrer qu'un point est un milieu, que des points sont alignés ou calculer une longueur sans construire de figure précise.

Pourquoi la formule de la distance demande-t-elle un repère orthonormé ?

Elle repose sur le théorème de Pythagore, qui exige des axes perpendiculaires, et sur des vecteurs de base de norme 1 pour que les coordonnées soient des longueurs : c'est la définition d'un repère orthonormal ³. Dans un repère quelconque, la même formule donnerait un résultat faux.

Comment savoir si trois vecteurs sont coplanaires ?

Choisis deux vecteurs non colinéaires et cherche si le troisième s'écrit $a\vec u+b\vec v$ . Si le système de trois équations a une solution, ils sont coplanaires. S'il n'en a pas, ils forment une base.

Comment choisir un repère sur un cube ou un pavé ?

Prends un sommet comme origine et les trois arêtes qui en partent comme vecteurs de base. Les coordonnées des autres sommets sont alors des 0 et des longueurs d'arêtes, ce qui simplifie les calculs. Si les arêtes sont perpendiculaires et de longueur 1 (ou prises comme unité), le repère est orthonormé.

Sources

MATHÉMATIQUES Espace et géométrie - Informer et accompagner, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Géométrie dans l'espace et repères, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Repère (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Repère mobile, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Bases et repères de l'espace : cours de Terminale spécialité

L'essentiel

Pourquoi repérer l'espace ?

Les vecteurs coplanaires et la notion de base

Décomposer un vecteur : les coordonnées dans une base

Du vecteur au point : le repère de l'espace

Calculs dans un repère : vecteur AB, milieu, alignement

Coplanarité par les coordonnées

Repère orthonormé et longueurs

Méthode complète et erreurs à éviter

Exercices corrigés

Exercice 1 Vecteur, milieu et distance

Exercice 2 Coordonnées d'une combinaison linéaire

Exercice 3 Trois vecteurs forment-ils une base ?

Exercice 4 Une boîte dans un repère

Quiz

Les questions qu'on se pose

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