Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un repère cartésien de l'espace se compose d'une origine et d'une base de vecteurs 3.
Les coordonnées d'un vecteur se lisent dans sa décomposition sur la base 2.
Un repère est orthonormé quand les vecteurs de base sont unitaires et deux à deux orthogonaux 3.
Les formules de distance et de norme avec des carrés exigent un repère orthonormé.
Les coordonnées de AB s'obtiennent par « arrivée moins départ » ; celles du milieu par la moyenne.
Avant de commencer
Ce quiz couvre le chapitre sur les bases et repères de l'espace, qui prolonge ce que tu as vu sur les vecteurs, les droites et les plans de l'espace. Tu y travailles le vocabulaire (repère, base, orthonormé), la lecture de coordonnées, les calculs sur les vecteurs et les points, puis les distances et le milieu. Prends un brouillon : plusieurs questions demandent un petit calcul. Lis l'explication après chaque réponse, même quand tu as juste, car elle précise souvent le piège à éviter.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Un repère cartésien associe un point, l'origine, à une base de vecteurs 3. Trois vecteurs non coplanaires forment une base, pas un repère : sans origine, on ne peut pas donner de coordonnées à un point. Trois points quelconques ne suffisent pas non plus, car il faut une base de vecteurs.
C'est la définition d'un repère orthonormé dans un espace euclidien 3. Il faut les deux conditions : des vecteurs de norme 1 mais non orthogonaux ne donnent pas un repère orthonormé, et des vecteurs orthogonaux de normes différentes non plus.
On opère coordonnée par coordonnée : 2×3−(−2)=6+2=8. L'erreur tentante est 6−2=4, qui oublie que soustraire −2 revient à ajouter 2.
Les coordonnées de AB sont (3;−2;−4). Le repère étant orthonormé, AB2=32+(−2)2+(−4)2=9+4+16=29. Si tu as trouvé 21, tu as sans doute écrit (−2)2=−4 au lieu de 4 : un carré n'est jamais négatif.
On fait « arrivée moins départ » : (4−1;0−2;−1−3)=(3;−2;−4). La réponse (−3;2;4) correspond à BA, et (5;2;2) à une addition des coordonnées au lieu d'une soustraction.
Chaque coordonnée du milieu est la moyenne des coordonnées correspondantes : 22+0=1, 2−4+2=−1, 26+2=4. La réponse (2;−2;8) est la somme sans division par 2 ; (−1;3;−2) est le vecteur AB divisé par 2, pas un point milieu.
Un repère orthonormé a des vecteurs de base unitaires et deux à deux orthogonaux 3. La formule de la norme découle de ces deux propriétés. La dernière affirmation est fausse : des vecteurs colinéaires ne peuvent pas être orthogonaux deux à deux et former une base.
∥u∥=22+32+62=4+9+36=49=7. Additionner simplement 2+3+6=11 est une erreur fréquente : il faut sommer les carrés puis prendre la racine.
C'est faux. Cette formule repose sur le fait que les vecteurs de base sont unitaires et orthogonaux 3. Si ce n'est pas le cas, des termes croisés apparaissent et la somme des carrés ne donne plus la vraie longueur.
Pour aller de A à G, on avance de 1 le long de AB, de 1 le long de AD puis de 1 le long de AE : AG=AB+AD+AE, d'où (1;1;1). Le point (1;1;0) est C, qui est dans la face de base.
Le sommet opposé s'atteint en parcourant les trois arêtes de longueurs 10, 5 et 3, donc ses coordonnées sont (10;5;3) dans l'ordre des axes. Si les axes étaient placés dans un autre ordre, le triplet serait permuté : c'est pourquoi l'on précise toujours l'orientation des axes. (10;0;0) désigne seulement l'extrémité de la première arête.
Si v=ku, alors −4=2k donne k=−2, et la troisième coordonnée vérifie 2=−1×(−2). On obtient x=1×(−2)=−2. Répondre x=2 ignore le signe de k.
Dans ABCD, on a AD=BC. Or BC=(1;2;−1), donc D=A+BC=(2;2;1). La réponse (6;4;−1) vient de B+C−A, qui donne le quatrième sommet d'un autre parallélogramme ; (8;4;3) est la somme des trois points.
Les coordonnées d'un vecteur se lisent dans sa décomposition sur la base 2, qui n'a pas changé. Un point, lui, est repéré à partir de l'origine 3 : si celle-ci se déplace, son triplet de coordonnées change. Par exemple, l'ancienne origine avait pour coordonnées (0;0;0) ; dans le nouveau repère, elle en a d'autres, sauf si l'origine n'a pas bougé.
Les coordonnées d'un vecteur dans une base sont les coefficients de sa décomposition sur cette base 2, pris dans l'ordre des vecteurs de base : ici 2, −1 et 4. Le signe moins devant fait partie du coefficient, et l'ordre (4;−1;2) inverse et k.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre une base et un repère ?
Une base est un ensemble de vecteurs : elle sert à décomposer les vecteurs. Un repère ajoute un point, l'origine 3 : il sert aussi à donner des coordonnées aux points. On écrit (O;,,k) pour un repère et (,,k) pour une base.
Quand ai-je le droit d'utiliser la formule de distance avec les carrés ?
Seulement dans un repère orthonormé, c'est-à-dire avec des vecteurs de base unitaires et deux à deux orthogonaux 3. L'énoncé le dit presque toujours (« l'espace est muni d'un repère orthonormé »). Si ce n'est pas précisé, vérifie avant de calculer une longueur.
Les calculs de ce quiz reviennent-ils au bac ?
Oui, sous forme de questions de géométrie dans l'espace : coordonnées de vecteurs, milieu, colinéarité, longueurs dans un repère orthonormé. Ces réflexes servent ensuite pour les représentations paramétriques de droites, le produit scalaire et les équations de plans.