Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un repère de l'espace associe une origine O et une base de trois vecteurs ; il attribue trois coordonnées à chaque point.3
Une base est formée de trois vecteurs non coplanaires : tout vecteur s'y décompose, et ses coordonnées sont les coefficients de cette décomposition.2
Pour A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB), le vecteur AB a pour coordonnées « arrivée moins départ ».
Les formules de norme et de distance ne valent que dans un repère orthonormé : vecteurs de base de longueur 1 et perpendiculaires entre eux.3
L'essentiel à retenir
Formules à maîtriser
Situer un point dans un solide
Pour un exercice sur un parallélépipède rectangle, on place l'origine sur un sommet et on prend pour vecteurs de base trois vecteurs de longueur 1 portés par les trois arêtes qui en partent : le repère est alors orthonormé. Les ressources officielles proposent par exemple une boîte de longueur 10, de largeur 5 et de hauteur 3, repérée par un repère d'origine O.1
Le sommet opposé à O a alors pour coordonnées les trois dimensions de la boîte : (10;5;3) si les axes suivent la longueur, la largeur puis la hauteur. Si l'on avait pris les arêtes entières comme vecteurs de base, ce sommet aurait pour coordonnées (1;1;1).
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Un repère cartésien associe un point, l'origine, et une base de vecteurs.3 Trois vecteurs non coplanaires forment une base, pas un repère : sans origine, on ne peut pas repérer de points.
Faux : une base de l'espace exige trois vecteurs non coplanaires. Si les vecteurs sont dans un même plan, on ne peut décomposer que les vecteurs de ce plan, pas tous ceux de l'espace.
On fait arrivée moins départ : 6−2=4. La réponse −4 vient d'une inversion départ/arrivée, et 8 d'une addition à la place d'une soustraction.
AB(3;4;0), donc AB=9+16+0=5. Oublier la racine donnerait 25.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi faut-il un repère orthonormé pour calculer une distance ?
Dans un repère orthonormé, les vecteurs de base ont pour longueur 1 et sont perpendiculaires deux à deux.3 C'est cette double propriété qui donne la formule avec la somme des carrés des coordonnées. Dans un autre repère, les axes ne sont pas perpendiculaires ou les unités diffèrent : la formule devient fausse.
Quelle est la différence entre les coordonnées d'un point et celles d'un vecteur ?
Les coordonnées d'un point se lisent dans un repère, donc par rapport à une origine. Celles d'un vecteur se lisent dans une base, par décomposition.2 Le lien : les coordonnées de M sont celles du vecteur OM.
Comment choisir un repère dans un exercice de géométrie dans l'espace ?
Prends un sommet comme origine et trois arêtes issues de ce sommet comme vecteurs de base, si elles sont deux à deux perpendiculaires. Tu obtiens des coordonnées simples, souvent composées de 0 et de 1. Attention : pour utiliser la formule de distance, ces vecteurs doivent aussi avoir pour longueur 1 (c'est le cas d'un cube d'arête 1).