Bases et repères de l'espace : exercices corrigés de Terminale

Lire les coefficients de la décomposition : $2$ devant $\vec{i}$, $-3$ devant $\vec{j}$, $4$ devant $\vec{k}$. Donc $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}$.

Vérifier que le repère est orthonormé : l'énoncé le dit, la formule de la norme s'applique.

Écrire la formule : $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Remplacer : $\|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$.

Donner la valeur approchée : $\sqrt{29}\approx 5{,}385$.

Écrire la formule : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}$.

Remplacer : $4-1=3$, $-2-2=-4$, $7-3=4$. Donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-4\\4\end{pmatrix}$.

Le repère est orthonormé : $AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{3^2+(-4)^2+4^2}$.

Calculer : $AB=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41}\approx 6{,}403$.

Rappeler le principe : dans un repère d'origine $O'$, les coordonnées de $M$ sont celles de $\overrightarrow{O'M}$ sur la base.

Calculer $\overrightarrow{O'M}\begin{pmatrix}4-1\\1-(-1)\\2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}$.

Écrire la décomposition : $\overrightarrow{O'M}=3\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}$.

Conclure : $M(3\,;\,2\,;\,-1)$ dans le repère $(O'\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. La somme vaut $3+2-1=4$.

Traduire la condition : $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Calculer $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-4\\4\end{pmatrix}$ et, avec $D(x\,;\,y\,;\,z)$, $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5-x\\0-y\\2-z\end{pmatrix}$.

Égaler composante par composante : $5-x=3$, $-y=-4$, $2-z=4$.

Résoudre : $x=2$, $y=4$, $z=-2$. Donc $D(2\,;\,4\,;\,-2)$ et $z_D=-2$.

Vérifier : $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}3\\-4\\4\end{pmatrix}=\overrightarrow{AB}$.

Les longueurs : $\|\vec{i}\|=\frac{10}{10}=1$, $\|\vec{j}\|=\frac{5}{5}=1$, $\|\vec{k}\|=\frac{3}{3}=1$. Les trois vecteurs sont unitaires.

Les arêtes issues de $O$ d'un pavé droit sont deux à deux perpendiculaires, donc les vecteurs de base sont deux à deux orthogonaux : le repère est orthonormé.

Écrire $\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=10\vec{i}+5\vec{j}+3\vec{k}$. Donc $F(10\,;\,5\,;\,3)$.

Le repère étant orthonormé : $OF=\sqrt{10^2+5^2+3^2}=\sqrt{100+25+9}=\sqrt{134}$.

Valeur approchée : $OF\approx 11{,}58$ cm.

Traduire la coordonnée en $x$ : $a\times1+b\times0+c\times1=3$, soit $a+c=3$.

Traduire la coordonnée en $y$ : $2a+b=5$. Traduire la coordonnée en $z$ : $b+c=2$.

Isoler : $a=3-c$ et $b=2-c$.

Remplacer dans $2a+b=5$ : $2(3-c)+(2-c)=5$, soit $8-3c=5$, donc $c=1$.

En déduire $a=2$ et $b=1$.

Conclure : $\vec{p}=2\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$. Vérification en $y$ : $2\times2+1=5$.

Un repère est orthonormé si ses vecteurs de base sont de longueur 1 et perpendiculaires deux à deux ³. Ici $\|\vec{e}_1\|=2$ et $\|\vec{e}_3\|=3$ : les vecteurs ne sont pas unitaires. Le repère n'est pas orthonormé.

Écrire $\overrightarrow{OM}=1\,\vec{e}_1+2\,\vec{e}_2+1\,\vec{e}_3$.

Calculer la longueur de chaque composante : $\|1\vec{e}_1\|=2$, $\|2\vec{e}_2\|=2$, $\|1\vec{e}_3\|=3$.

Ces trois vecteurs étant deux à deux orthogonaux, le carré de la longueur de leur somme est la somme des carrés : $OM^2=2^2+2^2+3^2=17$.

Conclure : $OM=\sqrt{17}\approx 4{,}12$ cm. La formule naïve $\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt6$ aurait donné $2{,}45$ cm : c'est faux.