Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Orthogonalité et projeté orthogonal : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Deux droites sont orthogonales quand leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul ; une droite est orthogonale à un plan quand son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan.
Le projeté orthogonal H d'un point M sur un plan P est le point de P tel que (MH) soit perpendiculaire à P ; c'est aussi le point de P le plus proche de M.
Sur une droite : on écrit H = A + t·u, puis on impose le produit scalaire de MH et u égal à 0 pour trouver t.
Sur un plan : on écrit H = M − k·n avec n normal, puis on impose l'équation du plan pour trouver k.
La distance de M à P est la longueur MH ; elle sert à calculer hauteurs et volumes.

Comment utiliser ces exercices

Cette page te propose des exercices de difficulté croissante sur l'orthogonalité dans l'espace et sur le projeté orthogonal. Le programme de Terminale place ces notions au croisement des outils algébriques (vecteurs, produit scalaire) et de la vision géométrique de l'espace ¹. Tu y retrouves l'orthogonalité de deux droites, celle d'une droite et d'un plan, puis la projection orthogonale sur une droite ou sur un plan ³.

Pour t'entraîner efficacement, cherche d'abord seul·e, avec une feuille et un repère en tête. Ouvre un indice seulement si tu es bloqué·e depuis plusieurs minutes, puis compare ta rédaction avec la correction, étape par étape.

Un plan défini par un point et un vecteur normal

Plusieurs exercices utilisent le fait qu'un plan est entièrement déterminé par un de ses points $A$ et un vecteur normal $\vec n$ : c'est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec n = 0$ . Le programme parle du plan passant par $A$ et normal à $\vec n$ ¹.

Les exercices

Exercice 1 Deux droites orthogonales

★☆☆Environ 5 min

Dans un repère orthonormé de l'espace, la droite $d_1$ a pour vecteur directeur $\vec u(2\,;k\,;-1)$ et la droite $d_2$ a pour vecteur directeur $\vec v(1\,;3\,;5)$ , où $k$ est un réel.

Détermine la valeur de $k$ pour laquelle les droites $d_1$ et $d_2$ sont orthogonales.

Indice 1

Deux droites sont orthogonales lorsque le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

Indice 2

Calcule $\vec u\cdot\vec v$ en fonction de $k$ , puis résous l'équation obtenue.

Voir la correction pas à pas

On traduit l'orthogonalité : $d_1\perp d_2$ équivaut à $\vec u\cdot\vec v=0$ .
On calcule le produit scalaire : $\vec u\cdot\vec v = 2\times1 + k\times3 + (-1)\times5 = 3k-3$ .
On résout $3k-3=0$ , ce qui donne $k=1$ .
On vérifie : avec $k=1$ , $\vec u(2\,;1\,;-1)$ et $\vec u\cdot\vec v = 2+3-5=0$ .

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont orthogonales si et seulement si $k=1$ . Remarque : deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes dans l'espace ; l'orthogonalité ne porte que sur les directions.

Exercice 2 Une droite orthogonale à un plan

★☆☆Environ 5 min

Le plan $\mathcal P$ a pour équation cartésienne $2x-y+3z-5=0$ . La droite $d$ a pour vecteur directeur $\vec u(4\,;m\,;6)$ , où $m$ est un réel.

Détermine la valeur de $m$ pour laquelle la droite $d$ est orthogonale au plan $\mathcal P$ .

Indice 1

Lis un vecteur normal du plan directement sur les coefficients de son équation.

Indice 2

La droite est orthogonale au plan si $\vec u$ est colinéaire à ce vecteur normal.

Voir la correction pas à pas

On lit un vecteur normal de $\mathcal P$ : $\vec n(2\,;-1\,;3)$ .
La droite $d$ est orthogonale à $\mathcal P$ si et seulement si $\vec u$ et $\vec n$ sont colinéaires.
On compare les coordonnées : $4 = 2\times2$ et $6=3\times2$ , donc le coefficient de colinéarité est $2$ .
La deuxième coordonnée doit suivre : $m = 2\times(-1) = -2$ .

La droite $d$ est orthogonale à $\mathcal P$ exactement pour $m=-2$ . Dans ce cas, $\vec u = 2\vec n$ : le vecteur directeur est un vecteur normal du plan.

Exercice 3 Équation d'un plan passant par un point et normal à un vecteur

★☆☆Environ 6 min

Dans un repère orthonormé, on considère le point $A(1\,;-2\,;3)$ et le vecteur $\vec n(2\,;1\,;-2)$ . On note $\mathcal P$ le plan passant par $A$ et normal à $\vec n$ ¹. Une équation de $\mathcal P$ s'écrit $2x+y-2z+d=0$ .

Détermine la valeur de $d$ .

Indice 1

Les coordonnées de $A$ vérifient l'équation de $\mathcal P$ , puisque $A$ appartient à ce plan.

Indice 2

Remplace $x$ , $y$ et $z$ par $1$ , $-2$ et $3$ dans $2x+y-2z+d$ .

Voir la correction pas à pas

On sait que $A\in\mathcal P$ , donc $2x_A+y_A-2z_A+d=0$ .
On remplace : $2\times1+(-2)-2\times3+d=0$ .
On calcule : $2-2-6+d=0$ , soit $-6+d=0$ .
On en déduit $d=6$ .

Le plan $\mathcal P$ a pour équation $2x+y-2z+6=0$ . Tu peux contrôler en testant le point $A$ : $2-2-6+6=0$ .

Exercice 4 Projeté orthogonal d'un point sur une droite

★★☆Environ 12 min

Dans un repère orthonormé de l'espace, la droite $(D)$ passe par $A(1\,;0\,;2)$ et a pour vecteur directeur $\vec u(1\,;2\,;2)$ . Soit $M(4\,;0\,;5)$ . On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$ .

Écris les coordonnées de $H$ en fonction d'un paramètre $t$ réel.
Détermine $t$ , puis les coordonnées de $H$ .
Calcule la distance $MH$ .

Indice 1

Un point de $(D)$ s'écrit $A+t\,\vec u$ . Le projeté $H$ est l'un d'eux.

Indice 2

Le vecteur $\overrightarrow{MH}$ doit être orthogonal à $\vec u$ : résous $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ .

Voir la correction pas à pas

Comme $H\in(D)$ , on a $H(1+t\,;\,2t\,;\,2+2t)$ .
On exprime $\overrightarrow{MH}$ : $\overrightarrow{MH}(t-3\,;\,2t\,;\,2t-3)$ .
On impose $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ : $(t-3)+2\times2t+2(2t-3)=0$ , soit $9t-9=0$ et $t=1$ .
On en déduit $H(2\,;2\,;4)$ et $\overrightarrow{MH}(-2\,;2\,;-1)$ .
On calcule $MH=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt9=3$ .
On contrôle : $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=-2+4-2=0$ , l'orthogonalité est bien vérifiée.

Le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$ est $H(2\,;2\,;4)$ et la distance de $M$ à la droite $(D)$ vaut $3$ . C'est la plus courte distance entre $M$ et un point de $(D)$ .

Exercice 5 Projeté orthogonal d'un point sur un plan

★★☆Environ 12 min

Dans un repère orthonormé, le plan $\mathcal P$ a pour équation $x+2y-2z-3=0$ et le point $M$ a pour coordonnées $(6\,;4\,;1)$ . On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal P$ .

Détermine la cote $z_H$ de $H$ (la troisième coordonnée).

Indice 1

Un vecteur normal de $\mathcal P$ se lit sur l'équation. Comme $(MH)\perp\mathcal P$ , le vecteur $\overrightarrow{MH}$ lui est colinéaire.

Indice 2

Pose $H=M+k\,\vec n$ et écris que $H$ vérifie l'équation de $\mathcal P$ .

Voir la correction pas à pas

Un vecteur normal de $\mathcal P$ est $\vec n(1\,;2\,;-2)$ , et la droite $(MH)$ est perpendiculaire au plan ⁶.
On écrit $H = M + k\,\vec n$ , soit $H(6+k\,;\,4+2k\,;\,1-2k)$ .
On impose $H\in\mathcal P$ : $(6+k)+2(4+2k)-2(1-2k)-3=0$ .
On développe : $6+k+8+4k-2+4k-3=0$ , soit $9k+9=0$ et $k=-1$ .
On obtient $H(5\,;2\,;3)$ , donc $z_H=3$ .
On contrôle : $5+4-6-3=0$ , donc $H\in\mathcal P$ .

Le projeté orthogonal est $H(5\,;2\,;3)$ et sa cote vaut $3$ . Ici $k=-1$ : le signe négatif signifie que $H$ se trouve du côté opposé à $\vec n$ par rapport à $M$ , ce qui est normal.

Exercice 6 Distance d'un point à un plan

★★☆Environ 10 min

Dans un repère orthonormé, on considère le plan $\mathcal P : 2x-y+2z+4=0$ et le point $M(2\,;1\,;4)$ .

Détermine les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal P$ .
En déduire la distance de $M$ au plan $\mathcal P$ .

Indice 1

Le projeté orthogonal est le point de $\mathcal P$ le plus proche de $M$ ¹ : la distance cherchée est donc $MH$ .

Indice 2

Procède comme pour un projeté sur un plan : $H=M+k\,\vec n$ avec $\vec n(2\,;-1\,;2)$ .

Voir la correction pas à pas

On prend $\vec n(2\,;-1\,;2)$ , de norme $\sqrt{4+1+4}=3$ .
On écrit $H(2+2k\,;\,1-k\,;\,4+2k)$ et on impose $H\in\mathcal P$ .
On remplace : $2(2+2k)-(1-k)+2(4+2k)+4=0$ , soit $9k+15=0$ et $k=-\dfrac53$ .
On obtient $H\left(-\dfrac43\,;\,\dfrac83\,;\,\dfrac23\right)$ .
On calcule $MH=|k|\times\|\vec n\|=\dfrac53\times3=5$ .
On contrôle avec la formule directe : $\dfrac{|2\times2-1+2\times4+4|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\dfrac{15}{3}=5$ .

La distance de $M$ au plan $\mathcal P$ vaut $5$ . Cette distance est la plus petite que l'on puisse obtenir entre $M$ et un point du plan.

Exercice 7 Projeté orthogonal sur une droite donnée par une représentation paramétrique

★★★Environ 15 min

Dans un repère orthonormé, la droite $(\Delta)$ a pour représentation paramétrique

$\begin{cases} x = 1+2t\\ y=-t\\ z=3+t\end{cases}\quad (t\in\mathbb R)$

et $M$ est le point de coordonnées $(0\,;2\,;1)$ . On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(\Delta)$ .

Détermine la valeur du paramètre $t$ qui correspond au point $H$ .

Indice 1

Lis un vecteur directeur de $(\Delta)$ dans les coefficients de $t$ .

Indice 2

Exprime $\overrightarrow{MH}$ en fonction de $t$ à partir des équations paramétriques, puis impose un produit scalaire nul.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient de $t$ donne un vecteur directeur : $\vec u(2\,;-1\,;1)$ .
Un point de $(\Delta)$ a pour coordonnées $(1+2t\,;\,-t\,;\,3+t)$ ; on en déduit $\overrightarrow{MH}(1+2t\,;\,-t-2\,;\,2+t)$ .
On impose l'orthogonalité : $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=2(1+2t)-(-t-2)+(2+t)=0$ .
On développe : $2+4t+t+2+2+t=6+6t=0$ , donc $t=-1$ .
On en déduit $H(-1\,;\,1\,;\,2)$ et $\overrightarrow{MH}(-1\,;-1\,;1)$ , de norme $\sqrt3$ .
On contrôle : $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=-2+1+1=0$ .

Le projeté orthogonal correspond à $t=-1$ , soit $H(-1\,;1\,;2)$ , et la distance de $M$ à la droite $(\Delta)$ vaut $\sqrt3$ . Ne confonds pas la valeur du paramètre $t$ avec les coordonnées de $H$ : l'énoncé demande ici le paramètre.

Exercice 8 Une diagonale du cube orthogonale à un plan

★★★Environ 15 min

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ dans le repère orthonormé $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ . Les points sont donc $A(0\,;0\,;0)$ , $B(1\,;0\,;0)$ , $D(0\,;1\,;0)$ , $E(0\,;0\,;1)$ et $G(1\,;1\,;1)$ .

Montre que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$ .
Détermine une équation cartésienne du plan $(BDE)$ .
Détermine les coordonnées du projeté orthogonal $K$ de $A$ sur le plan $(BDE)$ , puis la distance $AK$ .

Indice 1

Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Indice 2

Calcule $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}$ .

Indice 3

Une fois l'équation trouvée, le point $K$ est sur la droite $(AG)$ : écris $K(s\,;s\,;s)$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $\overrightarrow{AG}(1\,;1\,;1)$ , $\overrightarrow{BD}(-1\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{BE}(-1\,;0\,;1)$ .
Alors $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=-1+1+0=0$ et $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=-1+0+1=0$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BE}$ ne sont pas colinéaires : $(BD)$ et $(BE)$ sont sécantes en $B$ dans le plan $(BDE)$ . Donc $(AG)\perp(BDE)$ et $\overrightarrow{AG}$ est un vecteur normal du plan.
Le plan $(BDE)$ a donc une équation de la forme $x+y+z+d=0$ . Le point $B(1\,;0\,;0)$ en fait partie : $1+d=0$ , donc $d=-1$ . Équation : $x+y+z-1=0$ .
Comme $(AK)$ est perpendiculaire au plan et que $(AG)$ l'est aussi, $K$ est sur $(AG)$ : $K(s\,;s\,;s)$ . En imposant $3s-1=0$ , on trouve $s=\dfrac13$ , donc $K\left(\dfrac13\,;\dfrac13\,;\dfrac13\right)$ .
On calcule $AK=\sqrt{3\times\dfrac19}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ , soit environ $0{,}58$ , ce qui représente un tiers de la diagonale $AG=\sqrt3$ .

La diagonale $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$ , qui a pour équation $x+y+z-1=0$ . Le projeté orthogonal de $A$ sur ce plan est $K\left(\frac13\,;\frac13\,;\frac13\right)$ et la distance de $A$ au plan vaut $\frac{\sqrt3}{3}$ . Ce résultat classique du cube se retrouve très souvent dans les sujets de bac.

Exercice 9 Hauteur et volume d'un tétraèdre

★★★Environ 20 min

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ , on considère les points $A(3\,;0\,;0)$ , $B(0\,;3\,;0)$ et $C(0\,;0\,;3)$ .

Montre que le vecteur $\vec n(1\,;1\,;1)$ est normal au plan $(ABC)$ et donne une équation de ce plan.
Détermine les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur $(ABC)$ , puis la longueur $OH$ .
Le triangle $ABC$ est équilatéral de côté $3\sqrt2$ . Calcule son aire, puis le volume du tétraèdre $OABC$ avec la formule $V=\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$ , la base étant $ABC$ et la hauteur $OH$ .

Donne comme réponse numérique le volume obtenu.

Indice 1

Calcule $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}$ pour prouver que $\vec n$ est normal.

Indice 2

$H$ est de la forme $t\,\vec n$ , puisque $O$ est l'origine et que $(OH)$ est dirigée par $\vec n$ .

Indice 3

L'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ vaut $\dfrac{\sqrt3}{4}c^2$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $\overrightarrow{AB}(-3\,;3\,;0)$ et $\overrightarrow{AC}(-3\,;0\,;3)$ . Alors $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=-3+3+0=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=-3+0+3=0$ ; ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $\vec n$ est normal à $(ABC)$ .
Une équation du plan est $x+y+z+d=0$ ; avec $A$ , on obtient $3+d=0$ , donc $x+y+z-3=0$ .
On écrit $H(t\,;t\,;t)$ et on impose $3t-3=0$ , donc $t=1$ et $H(1\,;1\,;1)$ .
On calcule $OH=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3$ .
L'aire de $ABC$ vaut $\dfrac{\sqrt3}{4}\times(3\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\times18=\dfrac{9\sqrt3}{2}$ .
Le volume est $V=\dfrac13\times\dfrac{9\sqrt3}{2}\times\sqrt3=\dfrac13\times\dfrac{27}{2}=\dfrac92=4{,}5$ .
On contrôle par un autre calcul : en prenant la base $OAB$ (aire $\frac92$ ) et la hauteur $OC=3$ , on obtient $\frac13\times\frac92\times3=\frac92$ .

Le projeté orthogonal de $O$ sur $(ABC)$ est $H(1\,;1\,;1)$ , la hauteur du tétraèdre vaut $\sqrt3$ et son volume vaut $\dfrac92$ unités de volume. Le double calcul du volume, avec deux bases différentes, est un excellent moyen de vérifier un résultat sur un sujet de bac.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois chercher un projeté sur une droite ou sur un plan ?

Regarde l'objet sur lequel on projette. Pour une droite, tu utilises un point $A+t\,\vec u$ et la condition $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$ . Pour un plan, tu utilises $H=M+k\,\vec n$ et tu imposes que $H$ vérifie l'équation du plan. Dans les deux cas, on cherche le point de l'objet tel que $(MH)$ lui soit orthogonale, et c'est aussi le point le plus proche de $M$ ¹.

Pourquoi le projeté orthogonal est-il utile pour calculer une distance ?

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan est le point de ce plan le plus proche de $M$ ¹. La distance de $M$ au plan est donc la longueur $MH$ . Cette longueur sert ensuite de hauteur dans une formule de volume, comme dans l'exercice du tétraèdre.

Que faire quand l'énoncé du bac donne un plan sous forme d'équation et que je dois prouver une orthogonalité ?

Lis le vecteur normal sur les coefficients de l'équation, puis compare-le au vecteur directeur de la droite : s'ils sont colinéaires, la droite est orthogonale au plan. Rédige toujours la conclusion avec les mots exacts : « les vecteurs sont colinéaires donc la droite est orthogonale au plan ». Pense aussi à vérifier ta réponse en testant un point, par exemple en remplaçant les coordonnées de $H$ dans l'équation du plan.

Sources

Programme visé : Programme de spécialité de mathématiques de Terminale générale – Géométrie dans l'espace · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de spécialité de mathématiques de Terminale générale – Géométrie dans l'espace, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
MATHÉMATIQUES Espace et géométrie – Informer et accompagner, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Intentions majeures – Orthogonalité et distances dans l'espace, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Sujet d'examen – Géométrie et projeté orthogonal (24-MATJ2G11), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Cycle terminal de la voie générale – Ressources pédagogiques, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Projection orthogonale, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Orthogonalité et projeté orthogonal : exercices corrigés de Terminale

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Un plan défini par un point et un vecteur normal

Les exercices

Exercice 1 Deux droites orthogonales

Exercice 2 Une droite orthogonale à un plan

Exercice 3 Équation d'un plan passant par un point et normal à un vecteur

Exercice 4 Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Exercice 5 Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Exercice 6 Distance d'un point à un plan

Exercice 7 Projeté orthogonal sur une droite donnée par une représentation paramétrique

Exercice 8 Une diagonale du cube orthogonale à un plan

Exercice 9 Hauteur et volume d'un tétraèdre

Les questions qu'on se pose

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