Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Orthogonalité et projeté orthogonal : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Deux droites sont orthogonales quand leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul ; une droite est orthogonale à un plan quand son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ ; si $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ , l'équation est $ax+by+cz+d=0$ .
Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ tel que $(AH)$ soit orthogonale à $\mathcal{P}$ : c'est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $A$ .
Méthode sur un plan : écrire $H=A+t\vec{n}$ , reporter dans l'équation du plan, trouver $t$ . Sur une droite $(A\,;\vec{u})$ : $H=A+t\vec{u}$ avec $t=\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}$ .
La distance de $A$ au plan vaut $AH=|t|\,\|\vec{n}\|$ , soit $\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .

Ce que l'on cherche à faire

Dans ce chapitre, tu relies deux façons de regarder l'espace : le calcul avec les vecteurs et le produit scalaire d'un côté, la figure et ses positions relatives de l'autre. Le programme de Terminale demande de faire dialoguer ces deux points de vue autour de l'orthogonalité : celle de deux droites, celle d'un plan et d'une droite, puis la projection orthogonale sur un plan ou sur une droite ¹³.

Tout se passe dans un repère orthonormé de l'espace $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . C'est important : la formule du produit scalaire en coordonnées, $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$ , n'est valable que dans un tel repère. Tu as déjà vu cette formule, ainsi que les équations cartésiennes de plans et les représentations paramétriques de droites. Ici, on les met au service d'un seul objectif : calculer des projetés et des distances.

Le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace est symétrique et bilinéaire ³. Concrètement, pour tous vecteurs $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ et tous réels $a,b$ :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\qquad\text{et}\qquad \vec{u}\cdot(a\vec{v}+b\vec{w})=a\,\vec{u}\cdot\vec{v}+b\,\vec{u}\cdot\vec{w}.$

Cette dernière égalité servira dans presque toutes les démonstrations du cours.

Orthogonalité de deux droites

Cette définition ne dépend pas du choix des vecteurs directeurs : si tu remplaces $\vec{u}$ par $k\vec{u}$ avec $k\neq 0$ , la bilinéarité donne $(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})$ , qui est nul exactement quand $\vec{u}\cdot\vec{v}$ l'est.

Dans l'espace, deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément. Pour les désigner, on réserve ici le mot perpendiculaires aux droites orthogonales et sécantes. Dans le plan, les deux notions se confondent ; dans l'espace, non.

Droite orthogonale à un plan, vecteur normal

Démonstration · Preuve du critère

Le sens direct est immédiat : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont des vecteurs de $\mathcal{P}$ .

Réciproquement, supposons $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$ . Comme $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, ils forment une base des vecteurs du plan : tout vecteur $\vec{w}$ de $\mathcal{P}$ s'écrit $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ . Par bilinéarité du produit scalaire ³,

$\vec{n}\cdot\vec{w}=a\,\vec{n}\cdot\vec{u}+b\,\vec{n}\cdot\vec{v}=0.$

Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à tout vecteur de $\mathcal{P}$ .

Traduisons en coordonnées. Si $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ et $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ , alors pour $M(x\,;y\,;z)$ :

$\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0,$

ce qui s'écrit $ax+by+cz+d=0$ avec $d=-(ax_A+by_A+cz_A)$ . Les trois premiers coefficients de l'équation cartésienne sont donc les coordonnées d'un vecteur normal : on les lit directement.

ExempleLire un vecteur normal et écrire une équation

Lire. Le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x-y+4z+2=0$ admet pour vecteur normal $\vec{n}(3\,;-1\,;4)$ .

Écrire. Cherchons le plan passant par $A(1\,;2\,;-1)$ de vecteur normal $\vec{n}(2\,;1\,;3)$ . Son équation est $2x+y+3z+d=0$ . Comme $A$ appartient au plan : $2\times1+2+3\times(-1)+d=0$ , donc $d=-1$ . L'équation est $2x+y+3z-1=0$ .

Vérifier un vecteur normal à partir de deux vecteurs. Soit $\vec{u}(1\,;1\,;0)$ et $\vec{v}(0\,;1\,;1)$ dans un plan. Le vecteur $\vec{n}(1\,;-1\,;1)$ vérifie $\vec{n}\cdot\vec{u}=1-1+0=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{v}=0-1+1=0$ : il est normal à ce plan.

Projeté orthogonal sur une droite

ExempleUn projeté sur une droite

Soit $d$ la droite passant par $A(0\,;1\,;2)$ de vecteur directeur $\vec{u}(2\,;1\,;2)$ et $M(5\,;3\,;4)$ .

On a $\overrightarrow{AM}(5\,;2\,;2)$ , donc $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=10+2+4=16$ et $\|\vec{u}\|^2=4+1+4=9$ . Ainsi $t=\dfrac{16}{9}$ et

$H\left(\tfrac{32}{9}\,;\,1+\tfrac{16}{9}\,;\,2+\tfrac{32}{9}\right)=\left(\tfrac{32}{9}\,;\,\tfrac{25}{9}\,;\,\tfrac{50}{9}\right).$

Contrôle : $\overrightarrow{HM}=\left(\tfrac{13}{9}\,;\,\tfrac{2}{9}\,;\,-\tfrac{14}{9}\right)$ et $\overrightarrow{HM}\cdot\vec{u}=\tfrac{26+2-28}{9}=0$ . Le résultat est cohérent.

Projeté orthogonal sur un plan

Dire que $(AH)$ est orthogonale à $\mathcal{P}$ revient à dire que $\overrightarrow{AH}$ est colinéaire à un vecteur normal $\vec{n}$ de $\mathcal{P}$ . C'est ce qui rend le calcul facile : on sait que $H$ est sur la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$ , et que $H$ est dans le plan. Ces deux conditions ne laissent qu'une inconnue : le paramètre $t$ .

Obtenir les coordonnées de ce point $H$ quand le plan est défini par son équation cartésienne fait partie des attendus du programme ¹.

Vecteur normalLire n(a ; b ; c) dans l'équation du plan
Droite normaleÉcrire A + t·n sous forme paramétrique
Trouver tReporter dans l'équation du plan
Calculer HRemplacer t dans les coordonnées
VérifierH dans le plan et AH colinéaire à n

Projeté orthogonal sur un plan, étape par étape

ExempleProjeté sur un plan, rédigé en entier

Soit $\mathcal{P}\,:\,x-2y+2z+4=0$ et $A(3\,;1\,;-1)$ .

Étape 1. Un vecteur normal est $\vec{n}(1\,;-2\,;2)$ .

Étape 2. La droite $\Delta$ passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$ a pour représentation paramétrique $x=3+t$ , $y=1-2t$ , $z=-1+2t$ .

Étape 3. Le point $H$ de $\Delta$ appartient à $\mathcal{P}$ si $(3+t)-2(1-2t)+2(-1+2t)+4=0 \iff 3+9t=0 \iff t=-\tfrac{1}{3}.$

Étape 4. On obtient $H\left(\tfrac{8}{3}\,;\,\tfrac{5}{3}\,;\,-\tfrac{5}{3}\right)$ .

Étape 5. Vérification : $\tfrac{8}{3}-\tfrac{10}{3}-\tfrac{10}{3}+4=-\tfrac{12}{3}+4=0$ . Le point est bien dans le plan.

Plus court chemin et distance à un plan

Démonstration · Preuve avec le théorème de Pythagore

Soit $N$ un point de $\mathcal{P}$ distinct de $H$ . Le vecteur $\overrightarrow{HN}$ est dans $\mathcal{P}$ , donc orthogonal à $\overrightarrow{AH}$ , qui est colinéaire à $\vec{n}$ . Le triangle $AHN$ est donc rectangle en $H$ et

$AN^2=AH^2+HN^2>AH^2.$

Ainsi $AN>AH$ : tout autre point du plan est strictement plus loin de $A$ que $H$ .

Récapitulatif des outils
Situation	Critère ou méthode
Deux droites orthogonales	u · v = 0
Vecteur normal d'un plan	Lire (a ; b ; c) dans ax + by + cz + d = 0
Projeté sur une droite (A ; u)	H = A + t·u avec t = AM·u / \|\|u\|\|²
Projeté sur un plan	H = A + t·n, puis résoudre en t
Distance d'un point à un plan	AH = \|t\|·\|\|n\|\|

Récapitulatif des outils

Méthodes de rédaction et erreurs fréquentes

Les problèmes de Bac de cette partie consistent souvent à placer un point, à en chercher le projeté sur un plan donné, puis à en déduire une aire ou un volume. Un sujet du Bac pose ainsi la question du projeté orthogonal d'un point sur un plan avant d'en tirer une aire ⁴. Voici la démarche type.

Exercices corrigés

Exercice 1 Droites orthogonales avec un paramètre

★☆☆Environ 6 min

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}(1\,;m\,;2)$ et la droite $d'$ de vecteur directeur $\vec{v}(3\,;-1\,;2)$ , où $m$ est un réel. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $d$ et $d'$ sont orthogonales.

Indice 1

Deux droites sont orthogonales quand le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

Indice 2

Écris $\vec{u}\cdot\vec{v}$ en fonction de $m$ , puis résous l'équation.

Voir la correction pas à pas

On calcule $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times3+m\times(-1)+2\times2=7-m$ .
Les droites sont orthogonales si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ , c'est-à-dire $7-m=0$ .
On en déduit $m=7$ .

Pour $m=7$ , les droites $d$ et $d'$ sont orthogonales. Pour toute autre valeur, le produit scalaire est non nul et elles ne le sont pas.

Exercice 2 Projeté d'un point sur une droite

★★☆Environ 10 min

Dans un repère orthonormé, la droite $d$ passe par $A(1\,;0\,;2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(1\,;2\,;2)$ . Soit $M(4\,;3\,;5)$ . On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ , et on pose $\overrightarrow{AH}=t\,\vec{u}$ . Calculer la valeur de $t$ , puis les coordonnées de $H$ et la distance $MH$ .

Indice 1

Écris que $\overrightarrow{HM}\cdot\vec{u}=0$ avec $\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{AM}-t\vec{u}$ .

Indice 2

Tu dois trouver $t=\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2}$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $\overrightarrow{AM}(3\,;3\,;3)$ , donc $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=3+6+6=15$ .
On calcule $\|\vec{u}\|^2=1+4+4=9$ .
D'après la méthode, $t=\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}$ .
Les coordonnées de $H$ sont $\left(1+\tfrac53\,;\,\tfrac{10}{3}\,;\,2+\tfrac{10}{3}\right)=\left(\tfrac83\,;\,\tfrac{10}{3}\,;\,\tfrac{16}{3}\right)$ .
On obtient $\overrightarrow{HM}\left(\tfrac43\,;\,-\tfrac13\,;\,-\tfrac13\right)$ , donc $MH^2=\tfrac{16+1+1}{9}=2$ et $MH=\sqrt2$ .
Contrôle : $\overrightarrow{HM}\cdot\vec{u}=\tfrac43-\tfrac23-\tfrac23=0$ .

On a $t=\dfrac53$ , $H\left(\tfrac83\,;\,\tfrac{10}{3}\,;\,\tfrac{16}{3}\right)$ et $MH=\sqrt2$ .

Exercice 3 Projeté d'un point sur un plan et distance

★★★Environ 12 min

Dans un repère orthonormé, soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x-y+2z-3=0$ et le point $A(1\,;2\,;3)$ . Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{P}$ , puis calculer la distance $AH$ .

Indice 1

Le vecteur $\vec{n}(2\,;-1\,;2)$ est normal à $\mathcal{P}$ : cherche $H$ sous la forme $A+t\vec{n}$ .

Indice 2

Reporte les coordonnées de $A+t\vec{n}$ dans l'équation du plan pour trouver $t$ .

Voir la correction pas à pas

Un vecteur normal est $\vec{n}(2\,;-1\,;2)$ et $\|\vec{n}\|=\sqrt{4+1+4}=3$ .
On pose $H=A+t\vec{n}$ : $x=1+2t$ , $y=2-t$ , $z=3+2t$ .
On reporte dans l'équation : $2(1+2t)-(2-t)+2(3+2t)-3=0$ , soit $3+9t=0$ et $t=-\tfrac13$ .
On obtient $H\left(\tfrac13\,;\,\tfrac73\,;\,\tfrac73\right)$ .
Vérification : $\tfrac23-\tfrac73+\tfrac{14}{3}-3=\tfrac{9}{3}-3=0$ .
La distance est $AH=|t|\,\|\vec{n}\|=\tfrac13\times3=1$ .

Le projeté orthogonal est $H\left(\tfrac13\,;\,\tfrac73\,;\,\tfrac73\right)$ et la distance de $A$ au plan $\mathcal{P}$ vaut $1$ .

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre « orthogonal » et « perpendiculaire » ?

Dans l'espace, orthogonales se dit de deux droites dont les vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul, qu'elles se coupent ou non. Dans ce cours, perpendiculaires s'applique à des droites orthogonales et sécantes. Pour un plan et une droite, on dit « orthogonale » pour exprimer que la droite est dirigée par un vecteur normal au plan.

Comment savoir quand utiliser la méthode du paramètre $t$ ?

Dès qu'on te demande un projeté orthogonal, ou une distance à un plan ou une droite. Tu écris $H=A+t\vec{n}$ pour un plan, ou $H=A+t\vec{u}$ pour une droite (avec $\overrightarrow{HM}\cdot\vec{u}=0$ ), puis tu trouves $t$ . Cela fonctionne dès que tu as un point, un vecteur et une condition à vérifier.

À quoi sert le projeté orthogonal ?

Il donne la plus courte distance d'un point à un plan ¹, donc la hauteur d'une pyramide ou d'un tétraèdre, d'où un volume ou une aire. C'est aussi la clé des problèmes où l'on cherche le point d'un plan le plus proche d'un point donné. Ce type de question apparaît dans des sujets du Bac ⁴.

Comment vérifier rapidement que mon projeté est juste ?

Contrôle ces points : (1) les coordonnées de $H$ vérifient l'équation du plan ; (2) le vecteur $\overrightarrow{AH}$ est colinéaire au vecteur normal, par exemple en vérifiant qu'il vaut $t\vec{n}$ . Pour une droite, vérifie que $\overrightarrow{HM}\cdot\vec{u}=0$ .

Que faire si mon repère n'est pas orthonormé ?

Les formules de ce cours ne s'appliquent pas telles quelles. Dans les problèmes de Bac, l'énoncé précise presque toujours que le repère est orthonormé. Sinon, on commence par exprimer les vecteurs dans un repère orthonormé adapté, par exemple en plaçant l'origine à un sommet d'un cube.

Sources

Programme visé : Programme de spécialité de mathématiques de Terminale générale – Géométrie dans l'espace · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de spécialité de mathématiques de Terminale générale – Géométrie dans l'espace, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
MATHÉMATIQUES Espace et géométrie – Informer et accompagner, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Intentions majeures – Orthogonalité et distances dans l'espace, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Sujet d'examen – Géométrie et projeté orthogonal (24-MATJ2G11), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Cycle terminal de la voie générale – Ressources pédagogiques, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Projection orthogonale, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Droite orthogonale à un plan, vecteur normal

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