Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Notion de limite d'une suite : cours de 1re spécialité

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La limite d'une suite est la valeur dont les termes se rapprochent quand l'indice devient très grand. ⁴
Si cette limite est un nombre réel $\ell$ , la suite est convergente ; sinon elle est divergente. ⁵
Trois cas s'excluent : limite finie, limite $+\infty$ , limite $-\infty$ ; certaines suites n'ont aucune limite, comme une suite périodique non constante. ⁵
Quand une limite existe, elle est unique. ⁴
Une suite croissante a toujours une limite, finie si et seulement si elle est majorée. ⁵
En première, on conjecture la limite avec un tableur ou une calculatrice, puis on justifie par des seuils.

Pourquoi regarder « très loin » dans une suite

Une suite numérique est une liste de nombres $u_0, u_1, u_2, \dots$ rangés par indice. Dans les chapitres précédents, tu as appris à repérer les suites arithmétiques et géométriques, à étudier leur sens de variation et à additionner des termes consécutifs. Ici, on pose une autre question : que deviennent les termes quand l'indice $n$ devient énorme ?

Le programme de première présente les suites surtout comme un outil de modélisation, et l'étude des suites sert à se sensibiliser à l'idée de limite. ² Il n'est donc pas question de démonstrations compliquées : on observe, on conjecture, on justifie avec des seuils simples. Le programme demande en particulier de conjecturer, dans des cas simples, la limite éventuelle d'une suite. ²

Cette question a des applications concrètes. Si une population évolue chaque année selon une règle fixe, on veut savoir si elle va se stabiliser, exploser ou s'effondrer. Le programme évoque d'ailleurs la modélisation d'un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique. ²

L'idée intuitive de limite

Cette phrase est volontairement imagée. Les mathématiciens savent qu'elle n'est pas assez précise telle quelle, car il faudrait dire ce que « se rapprocher » veut dire. ⁴ Cela suppose de mesurer un écart entre deux nombres, c'est-à-dire une distance, qui est donnée dans l'ensemble des réels par la valeur absolue. ⁴ En première, tu t'appuies sur l'idée intuitive, que tu rends concrète avec des seuils : « à partir de quel rang l'écart devient-il plus petit que $0{,}001$ ? »

L'idée est ancienne. Elle apparaît déjà chez Euclide, il y a plus de deux mille ans, bien avant que la formalisation moderne existe. ⁴ Voici le passage, qui décrit un procédé où l'on retire à chaque fois plus de la moitié de ce qui reste :

« Étant données deux grandeurs inégales, si, de la plus grande on retranche plus que la moitié [...] nous aboutirons à une grandeur inférieure à la plus petite des grandeurs donnée ». ⁴

Archimède s'en sert aussi pour calculer l'aire d'un disque ou l'aire sous une parabole : il approche la figure par des polygones et montre que l'écart entre l'aire cherchée et celle du polygone est réduit de plus de moitié à chaque étape. ⁴ Autrement dit, l'écart devient aussi petit qu'on veut : c'est exactement le comportement d'une suite d'écarts qui tend vers $0$ .

Les termes de 1/n se rapprochent de 0 · Les points de la courbe d'abscisse entière représentent les termes de la suite ; l'axe des abscisses est asymptote.

Termes de la suite 1/n pour de grands indices
Indice n	Terme 1/n
1	1
10	0,1
100	0,01
1 000	0,001
1 000 000	0,000001

Termes de la suite 1/n pour de grands indices

Suites convergentes : la limite est un nombre

Pourquoi l'unicité est-elle naturelle ? Les termes ne peuvent pas se trouver, à partir d'un certain rang, dans deux zones qui n'ont aucun point commun. ⁴ Imagine une bille qui roule vers une cible : elle ne peut pas se rapprocher de deux cibles distinctes à la fois.

Limites infinies et suites sans limite

Certaines suites ne se stabilisent pas autour d'un nombre : leurs termes grandissent sans arrêt, ou deviennent très négatifs. On distingue alors trois situations pour une suite qui a une limite : la limite est un réel, la limite est $+\infty$ , ou la limite est $-\infty$ . ⁵

Une limite infinie n'est donc pas un nombre : c'est une façon de dire que les termes finissent par dépasser tout seuil que tu fixes (ou par passer sous tout seuil négatif). Une suite de limite infinie est divergente, puisqu'elle n'a pas de limite réelle. ⁵

Conjecturer une limite : la méthode de première

Le programme de première fait de la conjecture un objectif explicite. ² Les ressources d'accompagnement mettent l'accent sur l'usage du tableur pour obtenir une liste de termes d'une suite, et sur la représentation graphique des termes pour les exploiter. ³ Voici la démarche à suivre.

CalculerTermes pour n = 10, 100, 1000 au tableur
ObserverStabilisation, croissance sans fin ou alternance ?
ConjecturerAnnoncer la limite soupçonnée
Tester un seuilRésoudre |u_n - l| < écart choisi
RédigerÉcrire « on conjecture que... » avec le rang trouvé

Conjecturer et justifier une limite

ExempleExemple complet

Soit $u_n = 2 - \dfrac{3}{n}$ pour $n \geq 1$ . On cherche son comportement à l'infini.

Étape 1 : calculs. $u_1 = -1$ , $u_{10} = 1{,}7$ , $u_{100} = 1{,}97$ , $u_{1000} = 1{,}997$ .

Étape 2 : observation. Les termes grandissent et se serrent contre $2$ , sans jamais le dépasser.

Étape 3 : conjecture. On conjecture $\lim u_n = 2$ .

Étape 4 : seuil. L'écart à $2$ vaut $\dfrac{3}{n}$ . On veut qu'il soit inférieur à $0{,}01$ :

$\frac{3}{n} < 0{,}01 \iff n > 300$

À partir de $n = 301$ , tous les termes sont à moins de $0{,}01$ de $2$ . En prenant un écart encore plus petit, on trouverait un rang plus grand, mais il existerait toujours.

Suites arithmétiques et géométriques : que deviennent-elles ?

Les suites arithmétiques et géométriques sont les deux grands modèles du programme de première, et elles sont formalisées dans ce cadre. ² Étudions leur comportement à l'infini en suivant la démarche de conjecture.

MéthodeSuite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$

Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par la raison $q$ . Regardons trois raisons avec $u_0 = 100$ :

$q = 0{,}5$ : les termes valent $100, 50, 25, 12{,}5, 6{,}25, \dots$ ; ils sont divisés par deux à chaque étape et s'écrasent vers $0$ . On conjecture $\lim u_n = 0$ .
$q = 1{,}1$ : les termes valent $100, 110, 121, 133{,}1, \dots$ ; ils augmentent de $10\,\%$ à chaque étape, et dépassent peu à peu tout seuil. On conjecture $\lim u_n = +\infty$ .
$q = -1$ : les termes valent $100, -100, 100, -100, \dots$ ; la suite alterne et n'a pas de limite, comme $(-1)^n$ .

Le cas $q = 1{,}1$ illustre l'évolution géométrique à temps discret que le programme rapproche de l'évolution exponentielle à temps continu. ² Un capital qui gagne $10\,\%$ par an suit exactement cette logique, et on comprend que, laissé indéfiniment, il dépasse n'importe quelle somme.

Suites monotones : croissance et majoration

Tu connais déjà le sens de variation. Il donne des informations sur la limite grâce à un résultat très utile, qui concerne les suites monotones.

Rédiger et éviter les pièges

Exercices corrigés

Exercice 1 Trouver un rang à partir d'un seuil

★☆☆Environ 8 min

On considère la suite définie pour $n \geq 1$ par $u_n = \dfrac{1}{n}$ .

Calcule $u_{20}$ et $u_{500}$ .
On conjecture que la limite de la suite est $0$ . Détermine le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 0{,}001$ .

Indice 1

Écris l'inéquation $\frac{1}{n} < 0{,}001$ et multiplie les deux membres par $n$ , qui est positif.

Indice 2

Si $n > 1000$ , le plus petit entier convenable est celui qui suit $1000$ .

Voir la correction pas à pas

$u_{20} = \frac{1}{20} = 0{,}05$ et $u_{500} = \frac{1}{500} = 0{,}002$ .
On résout $\frac{1}{n} < 0{,}001$ . Comme $n > 0$ , cela équivaut à $1 < 0{,}001\,n$ , soit $n > 1000$ .
L'entier $1000$ ne convient pas, car $u_{1000} = 0{,}001$ n'est pas strictement inférieur à $0{,}001$ .
Le plus petit entier convenable est donc $n = 1001$ .

À partir du rang $1001$ , tous les termes sont à moins de $0{,}001$ de $0$ . Cela appuie la conjecture $\lim u_n = 0$ .

Exercice 2 Conjecturer la limite d'une suite

★★☆Environ 12 min

Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \geq 0$ par $u_n = 5 + \dfrac{4}{n+1}$ .

Calcule $u_{99}$ .
Conjecture la limite de la suite.
Justifie que la suite reste strictement supérieure à sa limite conjecturée.

Indice 1

Pour $n = 99$ , le dénominateur vaut $100$ .

Indice 2

Le terme $\frac{4}{n+1}$ est-il positif ? Que devient-il quand $n$ grandit ?

Voir la correction pas à pas

$u_{99} = 5 + \frac{4}{100} = 5 + 0{,}04 = 5{,}04$ .
On calcule aussi $u_{999} = 5{,}004$ : l'écart à $5$ est divisé par $10$ quand $n+1$ est multiplié par $10$ .
Les valeurs se rapprochent de $5$ , donc on conjecture $\lim u_n = 5$ .
Pour tout $n \geq 0$ , $\frac{4}{n+1} > 0$ , donc $u_n > 5$ : la suite reste strictement au-dessus de $5$ sans l'atteindre.

La suite converge (par conjecture) vers $5$ , en restant au-dessus. Une suite peut s'approcher de sa limite par valeurs supérieures et ne jamais l'atteindre.

Exercice 3 Une suite géométrique sous un seuil

★★★Environ 15 min

Un médicament est éliminé par le corps : chaque heure, il reste $90\,\%$ de la quantité de l'heure précédente. À l'instant $0$ , la quantité est de $200$ mg. On note $u_n$ la quantité (en mg) après $n$ heures.

Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
Calcule $u_6$ et $u_7$ à $0{,}1$ mg près.
Détermine le premier entier $n$ tel que $u_n < 100$ .
Que peux-tu conjecturer pour la limite de $(u_n)$ ?

Indice 1

Diminuer de $10\,\%$ revient à multiplier par $0{,}9$ : c'est une suite géométrique.

Indice 2

Calcule $0{,}9^6$ puis $0{,}9^7$ à la calculatrice, et compare $u_n$ à $100$ .

Voir la correction pas à pas

Chaque heure, on multiplie par $0{,}9$ : la suite est géométrique de raison $0{,}9$ et de premier terme $200$ , donc $u_n = 200 \times 0{,}9^n$ .
$u_6 = 200 \times 0{,}531441 \approx 106{,}3$ et $u_7 = 200 \times 0{,}4782969 \approx 95{,}7$ .
Comme $u_6 > 100$ et $u_7 < 100$ , et que la suite décroît, le premier rang où $u_n < 100$ est $n = 7$ .
Les termes sont multipliés par $0{,}9$ à chaque heure et diminuent sans cesse en restant positifs : on conjecture $\lim u_n = 0$ .

Au bout de $7$ heures, il reste moins de la moitié de la dose initiale. La quantité tend vers $0$ sans jamais s'annuler : c'est le profil d'une suite géométrique de raison comprise entre $0$ et $1$ .

Les questions qu'on se pose

Est-ce que la limite d'une suite peut être atteinte par un terme de la suite ?

Oui, c'est possible, mais ce n'est pas nécessaire. La suite $\frac{1}{n}$ ne vaut jamais $0$ et a pourtant pour limite $0$ . La définition de la limite parle de ce qui se passe quand $n$ devient très grand, pas de l'égalité d'un terme avec la limite. ⁴

Comment savoir si une suite a une limite ?

En première, tu calcules des termes pour des indices de plus en plus grands, tu observes (stabilisation, croissance sans fin, alternance) et tu conjectures. ² Une suite qui alterne comme $(-1)^n$ n'a pas de limite. ⁵

Quelle est la différence entre suite divergente et suite qui tend vers l'infini ?

« Divergente » veut dire qu'il n'y a pas de limite réelle. ⁵ Une suite divergente peut tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$ , ou bien n'avoir aucune limite, comme une suite périodique non constante. ⁵ Toute suite qui tend vers l'infini est divergente, mais l'inverse est faux.

Le tableur suffit-il pour prouver une limite ?

Non. Le tableur donne une liste de termes qui permet de conjecturer, ce qui est l'objectif fixé en première. ²³ Pour justifier, tu relies la conjecture à un raisonnement : un seuil que tu résous (par exemple $\frac{3}{n} < 0{,}01$ ) ou une propriété comme celle des suites croissantes majorées.

Pourquoi la limite d'une suite est-elle utile dans la vie réelle ?

Elle décrit le comportement à long terme d'un phénomène qui évolue pas à pas : un capital, une population, une quantité de médicament dans le sang. Le programme parle de modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique. ² La limite dit si la grandeur se stabilise, explose ou disparaît.

Sources

Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme de mathématiques de première générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
AGIR — Mathématiques Première : Compétences et ressources, Réseau Canopé. Consulté le 6 novembre 2026.
Limite d'une suite, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Limite (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Exercice 3 Une suite géométrique sous un seuil

Quiz

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