Limite d'une suite : exercices corrigés de 1re spécialité

On calcule : $u_{10}=0{,}1$, $u_{100}=0{,}01$ et $u_{1000}=0{,}001$.

Les valeurs diminuent et se rapprochent de $0$ : on conjecture que la suite se rapproche de $0$.

Pour $n>0$, $\dfrac{1}{n}<0{,}001$ équivaut à $n>\dfrac{1}{0{,}001}=1000$.

Pour $n=1000$, on a exactement $u_{1000}=0{,}001$, ce qui n'est pas strictement inférieur à $0{,}001$.

Le plus petit entier strictement supérieur à $1000$ est $1001$.

On calcule : $v_{10}=3{,}2$, $v_{100}=3{,}02$ et $v_{1000}=3{,}002$.

Les valeurs se rapprochent de $3$ par valeurs supérieures : on conjecture $\ell=3$.

L'écart est $v_n-3=\dfrac{2}{n}$.

On résout $\dfrac{2}{n}<0{,}01$, soit $n>\dfrac{2}{0{,}01}=200$.

Pour $n=200$, l'écart vaut exactement $0{,}01$ : il ne convient pas. Le plus petit entier est donc $201$.

On a $u_n=-2+5n$.

On calcule : $u_{10}=48$, $u_{100}=498$ et $u_{1000}=4\,998$. Les termes augmentent à chaque rang et ne s'arrêtent pas autour d'un nombre.

On résout $5n-2>10\,000$, soit $n>\dfrac{10\,002}{5}=2000{,}4$.

On vérifie : $u_{2000}=9\,998$ ne dépasse pas $10\,000$ et $u_{2001}=10\,003$ le dépasse.

Le plus petit entier cherché est $2001$.

On a $w_n=200\times 0{,}5^n$.

On calcule : $w_1=100$, $w_2=50$, $w_3=25$ et $w_{10}=\dfrac{200}{1024}\approx 0{,}195$.

Les termes sont divisés par $2$ à chaque rang, ils restent positifs et deviennent très petits : on conjecture que la suite se rapproche de $0$.

$w_n<0{,}1$ équivaut à $200\times 0{,}5^n<0{,}1$, soit $0{,}5^n<0{,}0005$, soit $2^n>2000$.

Or $2^{10}=1024<2000$ et $2^{11}=2048>2000$. Le plus petit entier est donc $11$.

Contrôle : $w_{10}\approx 0{,}195$ n'est pas inférieur à $0{,}1$, tandis que $w_{11}=\dfrac{200}{2048}\approx 0{,}098$ l'est.

Les six premiers termes sont $1$, $-1$, $1$, $-1$, $1$, $-1$.

Pour $n$ pair, $a_n=1$ ; pour $n$ impair, $a_n=-1$.

Comme $2025$ est impair, $a_{2025}=-1$. Comme $2026$ est pair, $a_{2026}=1$.

Quel que soit le rang choisi, on trouve plus loin des termes égaux à $1$ et des termes égaux à $-1$ : ils sont distants de $2$ et ne se rapprochent jamais d'un même réel.

La suite ne se stabilise donc autour d'aucune valeur.

On calcule : $t_1=4$, $t_2=6$, $t_3=7$, $t_4=7{,}5$, puis $t_5=7{,}75$.

Les termes augmentent à chaque rang, mais les augmentations sont de plus en plus petites : $4$, $2$, $1$, $0{,}5$, $0{,}25$.

Aucun terme calculé ne dépasse $8$ ; l'écart entre $8$ et le terme est divisé par $2$ à chaque rang : $8$, $4$, $2$, $1$, $0{,}5$, $0{,}25$.

On conjecture donc que la suite est croissante, majorée par $8$, et qu'elle se rapproche de $8$.

La valeur à retenir est $t_5=7{,}75$, soit un écart de $0{,}25$ avec $8$.

Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}05$ : $C_{n+1}=1{,}05\,C_n$. C'est une suite géométrique de raison $1{,}05$ et de premier terme $C_0=1000$, donc $C_n=1000\times 1{,}05^n$.

On calcule : $C_{10}\approx 1\,628{,}89$, $C_{14}\approx 1\,979{,}93$ et $C_{15}\approx 2\,078{,}93$.

On cherche le premier rang où $C_n>2000$, c'est-à-dire $1{,}05^n>2$.

Au rang $14$, le capital vaut environ $1\,979{,}93$ : il ne dépasse pas $2\,000$. Au rang $15$, il vaut environ $2\,078{,}93$ : c'est bon.

La réponse est donc $15$ ans.

À chaque année, le capital augmente, et l'augmentation est de plus en plus forte : il dépassera n'importe quel seuil fixé à l'avance.

Pour $a_n$ : $a_1=1$, $a_{10}=100$, $a_{100}=10\,000$. Les termes augmentent et deviennent de plus en plus grands.

Pour $b_n$ : $b_1=-1$, $b_{10}=1$, $b_{100}=1$. Les termes alternent entre $-1$ et $1$.

Pour $c_n$ : $c_1=7$, $c_{10}=4{,}3$, $c_{100}=4{,}03$. Les termes semblent s'approcher de $4$.

Pour $d_n$ : $d_1=-1$, $d_{10}=-19$, $d_{100}=-199$. Les termes diminuent sans s'arrêter.

Classement : $(a_n)$ devient aussi grande que l'on veut en positif, $(d_n)$ en négatif, $(b_n)$ n'a pas de limite, $(c_n)$ se rapproche d'un réel.

Pour $c_n$, l'écart avec $4$ vaut $\dfrac{3}{n}$, qui devient aussi petit que l'on veut quand $n$ grandit. On conjecture donc $\ell=4$.