Les identités remarquables : cours de Seconde

Tu sais déjà développer et factoriser : tu distribues un facteur sur une somme, ou tu fais apparaître un facteur commun. Ces gestes marchent toujours, mais ils deviennent longs dès qu'on multiplie deux parenthèses identiques, par exemple $(3x+5)(3x+5)$. Les identités remarquables sont des raccourcis : on repère un motif précis et on écrit directement le résultat.

Ces raccourcis servent dans trois situations très concrètes en Seconde. Tu développes plus vite, donc avec moins de risques d'erreur de signe. Tu factorises des expressions qui n'ont aucun facteur commun visible. Tu fais aussi certains calculs de tête qui paraissent impossibles, comme $99^2$ ou $102\times 98$.

Le programme de Seconde demande de connaître trois identités, que les élèves doivent savoir utiliser dans les deux sens ³. Dans ce cours, tu vas les démontrer, les appliquer, puis apprendre à les reconnaître même quand elles sont déguisées.

Donnons un nom à chacune, ce qui aide à les repérer :

• la première est le carré d'une somme ;
• la deuxième est le carré d'une différence ;
• la troisième est la différence de deux carrés, aussi appelée produit d'une somme par une différence quand on la lit de droite à gauche.

Les lettres $a$ et $b$ ne sont pas forcément de simples nombres : elles représentent n'importe quelle expression. Dans $(2x+3)^2$, on a $a=2x$ et $b=3$. Dans $(x-5y)^2$, on a $a=x$ et $b=5y$. C'est ce qui rend ces formules si puissantes.

Factoriser, c'est lire une identité de droite à gauche : on part d'une somme et on la transforme en produit. Cette lecture est plus difficile, car il faut reconnaître le motif. Voici comment s'y prendre.

Les identités permettent de calculer de tête en choisissant une bonne décomposition. L'idée est de s'appuyer sur un nombre rond proche, comme $50$ ou $100$.

Une même expression peut s'écrire sous plusieurs formes. Le programme demande de savoir identifier la forme la plus adaptée, développée ou factorisée, selon le but poursuivi, et d'utiliser une expression algébrique pour résoudre un problème ³. Il n'y a donc pas une « bonne » forme dans l'absolu : tout dépend de la question.

Faisons le point sur ce chapitre. Les trois identités figurent au programme de Seconde, avec la différence de deux carrés et les deux carrés de somme et de différence ³. Tu dois les utiliser dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser. Rappelle-toi aussi que le symbole « = » d'une identité n'a pas le même sens que celui d'une équation : une identité reste vraie pour toutes les valeurs des lettres, alors qu'une équation ne l'est que pour certaines ².

Pour t'entraîner efficacement, procède toujours dans le même ordre. D'abord, observe l'expression : combien de termes contient-elle, et quels sont les signes ? Ensuite, repère les carrés et note ce que valent $a$ et $b$. Puis vérifie le double produit $2ab$ si tu as trois termes. Enfin, écris le résultat et contrôle-le en remplaçant la lettre par une valeur simple comme $x=1$.

Un dernier point de méthode : face à un problème, demande-toi quelle forme est la plus utile avant de calculer. Le programme insiste sur ce choix entre forme développée et forme factorisée pour résoudre un problème ³. Si tu veux comparer ou réduire, développe. Si tu veux un produit pour étudier un signe ou des valeurs qui annulent l'expression, factorise. Avec de l'entraînement, ces réflexes deviennent automatiques, et tu gagnes du temps comme de la sécurité dans tous les chapitres de calcul à venir.